Resolva as equações diferenciais dadas utilizando o método por separação de variáveis.
4 x y^{2} d x+\left(x^{2}+1\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
4 x y^{2}\,d x+\left(x^{2}+1\right)\,d y=0
e pede para resolvê‑la pelo método da separação de variáveis. As informações relevantes que temos são:
  • A equação diferencial escrita em forma diferencial elementar: 4 x y^{2}\,d x+(x^{2}+1)\,d y=0.
  • Não há condição inicial fornecida, portanto buscamos a solução geral.
  • Devemos observar possíveis soluções singulares que possam ser perdidas ao dividir por expressões que podem ser zero.

Passo 2

Vamos primeiro reescrever a equação na forma \dfrac{dy}{dx}=\cdots para ficar mais claro o que separar. Dividindo tudo por dx (assumindo dx\neq0):
4 x y^{2} + (x^{2}+1)\frac{dy}{dx}=0.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{4 x y^{2}}{x^{2}+1}.

Passo 3

Agora explico a ideia da separação de variáveis: se conseguirmos escrever \dfrac{dy}{dx}=G(x)\,H(y), então podemos rearranjar para \dfrac{dy}{H(y)} = G(x)\,dx e integrar cada lado com respeito à sua variável. Aqui temos
\frac{dy}{dx} = -\frac{4 x}{x^{2}+1}\,y^{2},
ou seja G(x) = -\dfrac{4x}{x^{2}+1} e H(y)=y^{2}. Separando as variáveis (atenção: para dividir por y^{2} precisamos assumir y\neq0; trataremos y\equiv0 depois):
\frac{dy}{y^{2}} = -\frac{4 x}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Primeiro o lado esquerdo:
\int \frac{dy}{y^{2}} = \int y^{-2}\,dy.
Lembrando que a primitiva de y^{-2} é -y^{-1} (pois \dfrac{d}{dy}(-y^{-1}) = y^{-2}), então
\int \frac{dy}{y^{2}} = -\frac{1}{y} + C_1.
Para o lado direito, fazemos a integral
\int -\frac{4 x}{x^{2}+1}\,dx.
Use a substituição u=x^{2}+1, logo du=2x\,dx. Então
\int -\frac{4 x}{x^{2}+1}\,dx = -4\int \frac{x\,dx}{x^{2}+1} = -4\int \frac{1}{2}\frac{du}{u} = -2\ln|u| + C_2.
Voltando a x:
\int -\frac{4 x}{x^{2}+1}\,dx = -2\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + C_2.

Passo 5

Igualando as primitivas (podemos juntar as constantes C_1 e C_2 num único C):
-\frac{1}{y} = -2\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + C.
Multiplicando por -1 e renomeando a constante ( C'=-C, mas vou chamar simplesmente de C novamente):
\frac{1}{y} = 2\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + C.
Assim obtemos a solução explícita (para y\neq0):
y(x) = \frac{1}{2\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + C},
onde C é constante real arbitrária.

Passo 6

Não esqueça da observação sobre soluções singulares: ao separar dividimos por y^{2}, então podemos ter perdido a solução y\equiv0. Verificando na equação original, se y(x)\equiv0 então 4x y^{2}\,dx=0 e (x^{2}+1)\,dy=0 e como dy=0 a igualdade é satisfeita. Portanto y\equiv0 é realmente solução e deve ser incluída.

Passo 7

Resumo final e comentários práticos:
  • A família de soluções gerais está dada por y(x)=\dfrac{1}{2\ln(x^{2}+1)+C}, com C\in\mathbb{R}. Note que x^{2}+1>0 para todo x, então \ln(x^{2}+1) está bem definida para todos os x.
  • Além disso existe a solução singular constante y(x)\equiv0, que não aparece ao dividir por y^{2} durante a separação.

Resposta

\displaystyle y(x)=\frac{1}{2\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C}
\displaystyle y(x)\equiv 0

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