Resolva as equações diferenciais dadas utilizando o método por separação de variáveis.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolvê‑la pelo método da separação de variáveis. As informações relevantes que temos são:
- A equação diferencial escrita em forma diferencial elementar:
. - Não há condição inicial fornecida, portanto buscamos a solução geral.
- Devemos observar possíveis soluções singulares que possam ser perdidas ao dividir por expressões que podem ser zero.
Passo 2
Vamos primeiro reescrever a equação na forma
para ficar mais claro o que separar. Dividindo tudo por
(assumindo
):
Isolando
:
Passo 3
Agora explico a ideia da separação de variáveis: se conseguirmos escrever
, então podemos rearranjar para
e integrar cada lado com respeito à sua variável. Aqui temos
ou seja
e
. Separando as variáveis (atenção: para dividir por
precisamos assumir
; trataremos
depois):
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Primeiro o lado esquerdo:
Lembrando que a primitiva de
é
(pois
), então
Para o lado direito, fazemos a integral
Use a substituição
, logo
. Então
Voltando a
:
Passo 5
Igualando as primitivas (podemos juntar as constantes
e
num único
):
Multiplicando por
e renomeando a constante (
, mas vou chamar simplesmente de
novamente):
Assim obtemos a solução explícita (para
):
onde
é constante real arbitrária.
Passo 6
Não esqueça da observação sobre soluções singulares: ao separar dividimos por
, então podemos ter perdido a solução
. Verificando na equação original, se
então
e
e como
a igualdade é satisfeita. Portanto
é realmente solução e deve ser incluída.
Passo 7
Resumo final e comentários práticos:
- A família de soluções gerais está dada por
, com . Note que para todo , então está bem definida para todos os . - Além disso existe a solução singular constante
, que não aparece ao dividir por durante a separação.