Resolva as equações diferenciais dadas utilizando o método por separação de variáveis.
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva a equação diferencial dada usando o método por separação de variáveis. A equação fornecida é
Informações relevantes que temos:
- A incógnita é a função
. - A equação relaciona
e de forma que parece possível separar os termos em função de e de . - O objetivo é obter a família geral de soluções
, com constante de integração.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a equação na forma
algo, para identificar a possibilidade de separar variáveis. Dividindo toda a equação por
(ou reescrevendo em derivada), temos
Isolando
,
Aqui já ficou explícito que a derivada de
é um produto de uma função de
pela própria
, o que é um caso clássico onde se pode separar variáveis: queremos obter algo como uma função apenas de
à esquerda e apenas de
à direita.
Passo 3
Aplicando a ideia de separação de variáveis: quero colocar todos os fatores que dependem de
com
e todos os fatores que dependem de
com
. A partir de
faço a divisão por
(assumindo por ora
; a solução
será analisada separadamente) e multiplico por
, obtendo
Agora as variáveis estão separadas: o lado esquerdo depende só de
, o direito só de
. O próximo passo é integrar ambos os lados.
Passo 4
Integrar ambos os lados:
Vou calcular cada integral com calma.
- Esquerda: a integral de
é a função logaritmo natural:
onde
é uma constante de integração.
- Direita: para
uso substituição simples. Seja . Então , ou seja Assim
Voltando a
, isso dá
(Observação:
para todo
, então
.)
Passo 5
Agora igualo as duas primitivas (posso juntar as constantes de integração em uma só). Temos
onde
é uma constante arbitrária real. Esta é uma equação envolvendo logaritmos; vou eliminar o log aplicando exponenciação (função exponencial) em ambos os lados:
Chamo
. Note que
porque é exponencial de algo. Assim
Passo 6
Tratamento do valor absoluto e das constantes: da igualdade
segue que
. Podemos então juntar o sinal e a constante positiva
em uma constante real arbitrária
(que pode ser positiva, negativa ou zero). Assim a família geral de soluções fica
onde
é uma constante real arbitrária. Observações finais:
- A solução
está incluída em . - A função
é sempre positiva para todo , então não há problema de domínio — a solução está definida para todo .