Resolva as equações diferenciais dadas utilizando o método por separação de variáveis.
\left(1+x^{2}\right) d y-x y d x=0

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva a equação diferencial dada usando o método por separação de variáveis. A equação fornecida é
\left(1+x^{2}\right)\,dy - x\,y\,dx = 0.
Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é a função y = y(x).
  • A equação relaciona dy e dx de forma que parece possível separar os termos em função de y e de x.
  • O objetivo é obter a família geral de soluções y(x), com constante de integração.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a equação na forma \dfrac{dy}{dx}= algo, para identificar a possibilidade de separar variáveis. Dividindo toda a equação por dx (ou reescrevendo em derivada), temos
\left(1+x^{2}\right)\frac{dy}{dx} - x\,y = 0.
Isolando \dfrac{dy}{dx},
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1+x^{2}}\,y.
Aqui já ficou explícito que a derivada de y é um produto de uma função de x pela própria y, o que é um caso clássico onde se pode separar variáveis: queremos obter algo como uma função apenas de y à esquerda e apenas de x à direita.

Passo 3

Aplicando a ideia de separação de variáveis: quero colocar todos os fatores que dependem de y com dy e todos os fatores que dependem de x com dx. A partir de
\frac{dy}{dx} = \frac{x}{1+x^{2}}\,y,
faço a divisão por y (assumindo por ora y\neq 0; a solução y\equiv 0 será analisada separadamente) e multiplico por dx, obtendo
\frac{1}{y}\,dy = \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Agora as variáveis estão separadas: o lado esquerdo depende só de y, o direito só de x. O próximo passo é integrar ambos os lados.

Passo 4

Integrar ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
Vou calcular cada integral com calma.
  • Esquerda: a integral de 1/y é a função logaritmo natural:
\int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C_1,
onde C_1 é uma constante de integração.
  • Direita: para \int \dfrac{x}{1+x^{2}}\,dx uso substituição simples. Seja \;u = 1+x^{2}. Então \;du = 2x\,dx, ou seja \;x\,dx = \dfrac{1}{2}\,du. Assim
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \int \frac{1}{2}\,\frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C_2.
Voltando a x, isso dá
\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C_2.
(Observação: 1+x^{2}>0 para todo x, então |1+x^{2}| = 1+x^{2}.)

Passo 5

Agora igualo as duas primitivas (posso juntar as constantes de integração em uma só). Temos
\ln|y| = \frac{1}{2}\ln\bigl(1+x^{2}\bigr) + C,
onde C = C_2 - C_1 é uma constante arbitrária real. Esta é uma equação envolvendo logaritmos; vou eliminar o log aplicando exponenciação (função exponencial) em ambos os lados:
|y| = e^{C}\,\bigl(1+x^{2}\bigr)^{1/2}.
Chamo A = e^{C}. Note que A>0 porque é exponencial de algo. Assim
|y| = A\sqrt{1+x^{2}}.

Passo 6

Tratamento do valor absoluto e das constantes: da igualdade |y| = A\sqrt{1+x^{2}} segue que y = \pm A\sqrt{1+x^{2}}. Podemos então juntar o sinal e a constante positiva A em uma constante real arbitrária C (que pode ser positiva, negativa ou zero). Assim a família geral de soluções fica
y(x) = C\,\sqrt{1+x^{2}},
onde C é uma constante real arbitrária. Observações finais:
  • A solução y\equiv 0 está incluída em C=0.
  • A função \sqrt{1+x^{2}} é sempre positiva para todo x, então não há problema de domínio — a solução está definida para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

y = C\sqrt{1+x^{2}},\; C\in\mathbb{R}

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