Resolva as equações diferenciais
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral
(todas as soluções, incluindo soluções constantes se houver). Informações dadas que vamos usar explicitamente:
As incógnitas são a função
e a constante de integração que aparecerá. Não inicio a resolução aqui, apenas deixei claro o que é pedido e quais expressões aparecem.
Passo 2
Reescrevo a equação de forma a reconhecer a estrutura útil:
Essa forma tem um termo linear em
à esquerda e um termo proporcional a
à direita. Há uma técnica padrão que funciona quando a equação tem a forma
onde
é um número (aqui
), porque com uma boa substituição transformamos numa equação linear num novo desconhecido. A ideia da técnica é substituir por uma potência inversa de
para eliminar a parte não linear — eu vou fazer isso agora.
Passo 3
Defino a substituição adequada. Para a forma com
usamos
Agora calculo
em função de
. Diferenciando
em relação a
dá
Isolo
da equação original e substituo: da equação original
Multiplico ambos os lados pela expressão
(que aparece em
):
O lado esquerdo é exatamente
. Simplifico o lado direito termo a termo:
Portanto obtemos a equação linear em
:
(Observação: somei os sinais corretamente — o sinal do termo
é positivo.)
Passo 4
Agora temos uma equação linear de primeira ordem para
:
Vou resolver essa equação com o método do fator integrante. Lembrete rápido do método (mini-aula): para uma equação linear
o fator integrante é
Multiplicando a equação por
transformamos o lado esquerdo em
, e então integramos ambos os lados. No nosso caso
(atenção ao sinal), então
(Outra forma equivalente é escrever a equação como
e usar
.)
Passo 5
Multiplico a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
:
Agora integro ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra diretamente para
. Resta calcular a integral do lado direito. Vou calcular
Faço por partes. Primeiro escrevo
. Para
uso integração por partes escolhendo
e
. Assim
e
. Então
A integral restante é
. Logo
Multiplicando por
(porque
vezes isso) obtemos
Passo 6
Voltando à igualdade após integração, temos
Multiplico por
(ou divido por
) para isolar
:
Como
é uma constante arbitrária de integração, posso renomeá-la se quiser (por exemplo
). Para ficar mais habitual, coloquei o termo exponencial no lugar natural; é equivalente escrever
. Repare que o sinal negativo aparece porque o integrador usado foi
.
Passo 7
Recordando que
, temos
É comum reorganizar o lado direito para ficar mais “limpo”. Posso escrever, por exemplo,
Agora passo para
: invertendo os quadrados,
Portanto
onde a constante
é arbitrária e a solução é definida apenas nos intervalos onde o denominador é positivo (para obter
real). Além disso existe a solução constante
que a substituição
não captura (porque
torna
indefinido). Verifico rapidamente: se
então
e a equação fica
, logo
é solução válida.
Passo 8
Resumo das observações práticas para a prova:
- Usei a substituição padrão para equações do tipo
, com . - Após a substituição obtive uma equação linear em
e resolvi por fator integrante. - Não esqueça de verificar soluções que a substituição pode ter “perdido” (aqui
). - Sempre anotar domínio da solução (onde o denominador é não nulo e, para solução real, positivo).