(3,0) Resolva as equações diferenciais
\frac{d y}{d x}+y^{3} x-y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx}+y^{3}x-y=0.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) (todas as soluções, incluindo soluções constantes se houver). Informações dadas que vamos usar explicitamente:
\frac{dy}{dx}-y=-x\,y^{3}.
As incógnitas são a função y(x) e a constante de integração que aparecerá. Não inicio a resolução aqui, apenas deixei claro o que é pedido e quais expressões aparecem.

Passo 2

Reescrevo a equação de forma a reconhecer a estrutura útil:
\frac{dy}{dx}-y=-x\,y^{3}.
Essa forma tem um termo linear em y à esquerda e um termo proporcional a y^{3} à direita. Há uma técnica padrão que funciona quando a equação tem a forma
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^{n},
onde n é um número (aqui n=3), porque com uma boa substituição transformamos numa equação linear num novo desconhecido. A ideia da técnica é substituir por uma potência inversa de y para eliminar a parte não linear — eu vou fazer isso agora.

Passo 3

Defino a substituição adequada. Para a forma com n=3 usamos
u=y^{1-n}=y^{1-3}=y^{-2}.
Agora calculo du/dx em função de dy/dx. Diferenciando u=y^{-2} em relação a x
\frac{du}{dx}=-2y^{-3}\frac{dy}{dx}.
Isolo \frac{dy}{dx} da equação original e substituo: da equação original
\frac{dy}{dx}=y - x y^{3}.
Multiplico ambos os lados pela expressão -2y^{-3} (que aparece em du/dx):
-2y^{-3}\frac{dy}{dx}=-2y^{-3}(y - x y^{3}).
O lado esquerdo é exatamente \frac{du}{dx}. Simplifico o lado direito termo a termo:
-2y^{-3}\cdot y = -2 y^{-2} = -2u,
-2y^{-3}\cdot(-x y^{3}) = 2x.
Portanto obtemos a equação linear em u:
\frac{du}{dx}-2u=2x.
(Observação: somei os sinais corretamente — o sinal do termo 2x é positivo.)

Passo 4

Agora temos uma equação linear de primeira ordem para u(x):
\frac{du}{dx}-2u=2x.
Vou resolver essa equação com o método do fator integrante. Lembrete rápido do método (mini-aula): para uma equação linear
\frac{du}{dx}+a(x)u=b(x),
o fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Big(\int a(x)\,dx\Big).
Multiplicando a equação por \mu(x) transformamos o lado esquerdo em \frac{d}{dx}\big(\mu(x)u(x)\big), e então integramos ambos os lados. No nosso caso a(x)=-2 (atenção ao sinal), então
\mu(x)=\exp\!\Big(\int -2\,dx\Big)=\exp(-2x)=e^{-2x}.
(Outra forma equivalente é escrever a equação como \frac{du}{dx}+(-2)u=2x e usar \mu=e^{\int -2\,dx}=e^{-2x}.)

Passo 5

Multiplico a equação por \mu(x)=e^{-2x}:
e^{-2x}\frac{du}{dx}-2e^{-2x}u=2x e^{-2x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto e^{-2x}u:
\frac{d}{dx}\big(e^{-2x}u\big)=2x e^{-2x}.
Agora integro ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{-2x}u\big)\,dx = \int 2x e^{-2x}\,dx.
O lado esquerdo integra diretamente para e^{-2x}u. Resta calcular a integral do lado direito. Vou calcular
I=\int 2x e^{-2x}\,dx.
Faço por partes. Primeiro escrevo I=2\int x e^{-2x}\,dx. Para \int x e^{-2x}\,dx uso integração por partes escolhendo A=x e dB=e^{-2x}dx. Assim dA=dx e B=\int e^{-2x}dx=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}. Então
\int x e^{-2x}\,dx = x\cdot\big(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\big) - \int 1\cdot\big(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\big)\,dx = -\tfrac{1}{2}x e^{-2x} + \tfrac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx.
A integral restante é \int e^{-2x}\,dx=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}. Logo
\int x e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2}x e^{-2x} + \tfrac{1}{2}\big(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\big) + C = -\tfrac{1}{2}x e^{-2x} -\tfrac{1}{4}e^{-2x} + C.
Multiplicando por 2 (porque I=2 vezes isso) obtemos
I=\int 2x e^{-2x}\,dx = -x e^{-2x} -\tfrac{1}{2}e^{-2x} + C.

Passo 6

Voltando à igualdade após integração, temos
e^{-2x}u = -x e^{-2x} -\tfrac{1}{2}e^{-2x} + C.
Multiplico por e^{2x} (ou divido por e^{-2x}) para isolar u:
u = -x -\tfrac{1}{2} + C e^{2x}.
Como C é uma constante arbitrária de integração, posso renomeá-la se quiser (por exemplo C_1). Para ficar mais habitual, coloquei o termo exponencial no lugar natural; é equivalente escrever u = -\big(x+\tfrac{1}{2}\big)+C e^{2x}. Repare que o sinal negativo aparece porque o integrador usado foi e^{-2x}.

Passo 7

Recordando que u=y^{-2}, temos
y^{-2} = -x -\tfrac{1}{2} + C e^{2x}.
É comum reorganizar o lado direito para ficar mais “limpo”. Posso escrever, por exemplo,
y^{-2} = C e^{2x} - x -\tfrac{1}{2}.
Agora passo para y: invertendo os quadrados,
y^{2} = \frac{1}{C e^{2x} - x -\tfrac{1}{2}}.
Portanto
y(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{\,C e^{2x} - x -\tfrac{1}{2}\,}},
onde a constante C é arbitrária e a solução é definida apenas nos intervalos onde o denominador é positivo (para obter y real). Além disso existe a solução constante y\equiv 0 que a substituição u=y^{-2} não captura (porque y=0 torna u indefinido). Verifico rapidamente: se y\equiv 0 então \frac{dy}{dx}=0 e a equação fica 0+0-0=0, logo y\equiv 0 é solução válida.

Passo 8

Resumo das observações práticas para a prova:
  • Usei a substituição padrão para equações do tipo \frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^{n}, com u=y^{1-n}.
  • Após a substituição obtive uma equação linear em u e resolvi por fator integrante.
  • Não esqueça de verificar soluções que a substituição pode ter “perdido” (aqui y\equiv 0).
  • Sempre anotar domínio da solução (onde o denominador é não nulo e, para solução real, positivo).

Resposta

y\equiv 0
y(x)=\pm\displaystyle\frac{1}{\sqrt{\,C e^{2x} - x -\tfrac{1}{2}\,}}, onde C é constante de integração e a solução vale onde o radicando é positivo.

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