Resolva as equações diferenciais homogêneas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária dada por
Informações explícitas fornecidas:
- A equação relaciona
e pela derivada . - Há termos que envolvem potências de
e : , , e o produto . - Não há condições iniciais; portanto devemos obter a solução geral (constante de integração
). - Deve-se considerar
e nos passos em que aparecem divisões por ou .
Passo 2
Vamos escrever a equação numa forma diferencial padrão (forma diferencial total) que facilite o uso de técnicas de equações exatas ou fatores integrantes.
Partimos de
Multiplicando ambos os lados por
e por
obtemos
Reescrevendo como uma equação na forma
temos (colocando tudo do mesmo lado)
Assim podemos identificar
Passo 3
Vou testar se a equação é exata. Uma equação
é exata se
Calculemos as derivadas parciais:
Como
em geral, a equação não é exata. Então precisamos tentar um fator integrante. Em particular, podemos procurar um fator integrante que dependa somente de
, isto é,
. A condição prática para existir
é que a função
seja função apenas de
. Vamos calcular:
que depende só de
. Logo existe um fator integrante
.
Passo 4
Encontramos
usando a fórmula
Substituindo o valor encontrado:
Para simplicidade (e considerando
) podemos usar
(absorvendo o sinal se necessário na constante de integração).
Passo 5
Multiplicamos a equação diferencial original (na forma
) pelo fator integrante
. Assim definimos
A equação transformada é
Passo 6
Verificamos que agora a equação é exata:
logo
. Sendo exata, existe uma função potencial
tal que
e a solução implícita geral será
.
Passo 7
Integramos
em relação a
para achar
:
Fazendo as integrais (lembrando que
aqui é tratada como constante ao integrar em
):
Portanto
onde
é uma função a determinar.
Passo 8
Agora impomos
. Calculando
Igualando a
obtemos
Isto dá
, portanto
é constante. Absorvendo essa constante em
, a função potencial é
Passo 9
A solução implícita geral da equação diferencial (após multiplicar pelo fator integrante) é
onde
é constante de integração. Podemos rearranjar se quisermos:
Ou explicitando
,
Lembre-se de que a solução explícita exige a expressão dentro da raiz não negativa; a forma implícita é suficiente e mais geral.