Resolva as equações diferenciais homogêneas:
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{3}+3 y^{2}}{2 x y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária dada por
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{3}+3 y^{2}}{2 x y}.
Informações explícitas fornecidas:
  • A equação relaciona y e x pela derivada \dfrac{dy}{dx}.
  • Há termos que envolvem potências de x e y: x^{3}, y^{2}, e o produto x y.
  • Não há condições iniciais; portanto devemos obter a solução geral (constante de integração C).
  • Deve-se considerar x\neq0 e y\neq0 nos passos em que aparecem divisões por x ou y.

Passo 2

Vamos escrever a equação numa forma diferencial padrão (forma diferencial total) que facilite o uso de técnicas de equações exatas ou fatores integrantes.
Partimos de
\frac{d y}{d x}=\frac{x^{3}+3 y^{2}}{2 x y}.
Multiplicando ambos os lados por dx e por 2xy obtemos
2 x y\,dy = \bigl(x^{3}+3 y^{2}\bigr)\,dx.
Reescrevendo como uma equação na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 temos (colocando tudo do mesmo lado)
\bigl(x^{3}+3 y^{2}\bigr)\,dx - 2 x y\,dy = 0.
Assim podemos identificar
M(x,y)=x^{3}+3 y^{2},\qquad N(x,y)=-2 x y.

Passo 3

Vou testar se a equação é exata. Uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=6y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=-2y.
Como 6y\neq -2y em geral, a equação não é exata. Então precisamos tentar um fator integrante. Em particular, podemos procurar um fator integrante que dependa somente de x, isto é, \mu(x). A condição prática para existir \mu(x) é que a função
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
seja função apenas de x. Vamos calcular:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{6y -(-2y)}{-2xy} = \frac{8y}{-2xy} = -\frac{4}{x},
que depende só de x. Logo existe um fator integrante \mu(x).

Passo 4

Encontramos \mu(x) usando a fórmula
\mu(x)=\exp\!\left(\int \left(\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}\right)\,dx\right).
Substituindo o valor encontrado:
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{4}{x}\,dx\right)=\exp\bigl(-4\ln|x|\bigr)=|x|^{-4}.
Para simplicidade (e considerando x\neq0) podemos usar \mu(x)=x^{-4} (absorvendo o sinal se necessário na constante de integração).

Passo 5

Multiplicamos a equação diferencial original (na forma M\,dx+N\,dy=0) pelo fator integrante \mu(x)=x^{-4}. Assim definimos
\widetilde{M}(x,y)=x^{-4}M(x,y)=x^{-4}\bigl(x^{3}+3y^{2}\bigr)=x^{-1}+3x^{-4}y^{2},
\widetilde{N}(x,y)=x^{-4}N(x,y)=x^{-4}\bigl(-2xy\bigr)=-2x^{-3}y.
A equação transformada é
\widetilde{M}(x,y)\,dx+\widetilde{N}(x,y)\,dy=0.

Passo 6

Verificamos que agora a equação é exata:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=6x^{-4}y, \qquad \frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}=-2(-3)x^{-4}y=6x^{-4}y,
logo \dfrac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=\dfrac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}. Sendo exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde{M}(x,y),\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde{N}(x,y),
e a solução implícita geral será \Phi(x,y)=C.

Passo 7

Integramos \widetilde{M} em relação a x para achar \Phi:
\Phi(x,y)=\int\widetilde{M}(x,y)\,dx =\int\left(x^{-1}+3x^{-4}y^{2}\right)\,dx.
Fazendo as integrais (lembrando que y aqui é tratada como constante ao integrar em x):
\int x^{-1}\,dx=\ln|x|, \qquad \int 3x^{-4}y^{2}\,dx=3y^{2}\cdot\frac{x^{-3}}{-3}=-y^{2}x^{-3}.
Portanto
\Phi(x,y)=\ln|x|-y^{2}x^{-3}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 8

Agora impomos \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde{N}(x,y). Calculando
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=-2y x^{-3}+h'(y).
Igualando a \widetilde{N}(x,y)=-2x^{-3}y obtemos
-2y x^{-3}+h'(y)=-2y x^{-3}.
Isto dá h'(y)=0, portanto h(y) é constante. Absorvendo essa constante em C, a função potencial é
\Phi(x,y)=\ln|x|-y^{2}x^{-3}.

Passo 9

A solução implícita geral da equação diferencial (após multiplicar pelo fator integrante) é
\Phi(x,y)=\ln|x|-\frac{y^{2}}{x^{3}}=C,
onde C é constante de integração. Podemos rearranjar se quisermos:
\frac{y^{2}}{x^{3}}=\ln|x|-C.
Ou explicitando y,
y=\pm x^{3/2}\sqrt{\ln|x|-C}.
Lembre-se de que a solução explícita exige a expressão dentro da raiz não negativa; a forma implícita é suficiente e mais geral.

Resposta

\displaystyle \ln|x|-\dfrac{y^{2}}{x^{3}}=C

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