e pede que se encontre a solução geral y(x). Informações importantes que temos:
A equação relaciona dy/dx com uma razão de expressões lineares em x e y.
Para manipular algébrica e integravelmente, será preciso cuidar de pontos onde surgem divisões por zero (por exemplo x=0 ou 2x+y=0): esses pontos precisam ser observados no final.
Objetivo imediato: transformar a equação em uma forma integrável e obter a solução geral com constante de integração.
Passo 2
Observação útil (motivo da substituição): a razão do lado direito depende apenas da razão y/x. Para ver isso, divido numerador e denominador por x (assumindo provisoriamente x\neq0):
Esta é uma separação de variáveis padrão: todo termo em v à esquerda e todo termo em x à direita.
Passo 5
Integramos ambos os lados. Antes, faço frações parciais para integrar a parte em v\). Procuro \(A,B\) tais que
\[\frac{v+2}{(v+1)(v+4)}=\frac{A}{v+1}+\frac{B}{v+4}.
Multiplicando por (v+1)(v+4) obtemos
v+2 = A(v+4)+B(v+1) = (A+B)v + (4A+B).
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A+B = 1,\\\\ 4A+B = 2. \end{cases}
Subtraindo as equações: 3A=1\] então \(A=\tfrac{1}{3}. Logo B=1-A=\tfrac{2}{3}.
Exponenciando e absorvendo constantes multiplicativas em uma constante arbitrária K:
(v+1)(v+4)^2 = K x^{-3}.
Passo 7
Volto à variável original y, lembrando v=y/x. Substituo v=\dfrac{y}{x} e multiplico ambos os lados por x^3 para eliminar x^{-3}:
\left(\frac{y}{x}+1\right)\left(\frac{y}{x}+4\right)^2 = K x^{-3} \quad\Longrightarrow\quad (y+x)(y+4x)^2 = C,
onde C é uma constante arbitrária (redefinição de K). Esta é a solução implícita geral.
Observações importantes sobre soluções especiais:
Se C=0 então (y+x)(y+4x)^2=0, o que dá as soluções em linha reta y=-x e y=-4x. Essas linhas satisfazem a equação diferencial (verificação direta), e aparecem como casos particulares do resultado com C=0.
A reta y=-2x não é solução (faz o denominador 2x+y anular-se, e a equação original não fica definida ali, exceto possivelmente trivialmente no ponto x=0).
Passo 8
Resumo final e dica prática para prova: a técnica usada foi a substituição v=y/x quando o lado direito depende só da razão y/x. Depois veio separação de variáveis e integração por frações parciais. Na prova, identifique rapidamente v=y/x, calcule dy/dx=v+x\,dv/dx, reduza, separe e integre — treino faz isso virar automático.