Resolva as equações diferenciais homogêneas:
\frac{d y}{d x}=-\frac{4 x+3 y}{2 x+y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx} = -\frac{4x+3y}{2x+y},
e pede que se encontre a solução geral y(x). Informações importantes que temos:
  • A equação relaciona dy/dx com uma razão de expressões lineares em x e y.
  • Para manipular algébrica e integravelmente, será preciso cuidar de pontos onde surgem divisões por zero (por exemplo x=0 ou 2x+y=0): esses pontos precisam ser observados no final.
  • Objetivo imediato: transformar a equação em uma forma integrável e obter a solução geral com constante de integração.

Passo 2

Observação útil (motivo da substituição): a razão do lado direito depende apenas da razão y/x. Para ver isso, divido numerador e denominador por x (assumindo provisoriamente x\neq0):
-\frac{4x+3y}{2x+y} = -\frac{4 + 3(y/x)}{2 + (y/x)}.
Portanto é natural fazer a substituição
v=\frac{y}{x},
que implica y=vx. Agora calculemos dy/dx em termos de v e dv/dx. Usando a regra do produto:
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Essa substituição costuma reduzir a equação a uma equação apenas em v e x que pode ser separável.

Passo 3

Substituo y=vx e \dfrac{dy}{dx}=v+x\dfrac{dv}{dx} na equação original:
v + x\frac{dv}{dx} = -\frac{4+3v}{2+v}.
Isolo x\,dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = -\frac{4+3v}{2+v} - v.
Coloco em um único quociente:
x\frac{dv}{dx} = -\frac{4+3v + v(2+v)}{2+v} = -\frac{4+3v+2v+v^2}{2+v} = -\frac{v^2+5v+4}{v+2}.
Fatorando o polinômio do numerador:
v^2+5v+4=(v+1)(v+4),
logo
x\frac{dv}{dx} = -\frac{(v+1)(v+4)}{v+2}.

Passo 4

Agora separamos variáveis: escrevo a equação como
\frac{v+2}{(v+1)(v+4)}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Esta é uma separação de variáveis padrão: todo termo em v à esquerda e todo termo em x à direita.

Passo 5

Integramos ambos os lados. Antes, faço frações parciais para integrar a parte em v\). Procuro \(A,B\) tais que \[\frac{v+2}{(v+1)(v+4)}=\frac{A}{v+1}+\frac{B}{v+4}.
Multiplicando por (v+1)(v+4) obtemos
v+2 = A(v+4)+B(v+1) = (A+B)v + (4A+B).
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A+B = 1,\\\\ 4A+B = 2. \end{cases}
Subtraindo as equações: 3A=1\] então \(A=\tfrac{1}{3}. Logo B=1-A=\tfrac{2}{3}.
Portanto
\frac{v+2}{(v+1)(v+4)} = \frac{1}{3}\frac{1}{v+1} + \frac{2}{3}\frac{1}{v+4}.

Passo 6

Integro os dois lados:
\int\!\left(\frac{1}{3}\frac{1}{v+1} + \frac{2}{3}\frac{1}{v+4}\right)dv \;=\; \int -\frac{dx}{x}.
As integrais dão
\frac{1}{3}\ln|v+1| + \frac{2}{3}\ln|v+4| = -\ln|x| + C,
onde C é constante de integração. Multiplico por 3:
\ln|v+1| + 2\ln|v+4| = -3\ln|x| + C_1.
Combino os logaritmos:
\ln\big(|v+1|\,|v+4|^2\big) = \ln\big(|x|^{-3}\big) + C_1.
Exponenciando e absorvendo constantes multiplicativas em uma constante arbitrária K:
(v+1)(v+4)^2 = K x^{-3}.

Passo 7

Volto à variável original y, lembrando v=y/x. Substituo v=\dfrac{y}{x} e multiplico ambos os lados por x^3 para eliminar x^{-3}:
\left(\frac{y}{x}+1\right)\left(\frac{y}{x}+4\right)^2 = K x^{-3} \quad\Longrightarrow\quad (y+x)(y+4x)^2 = C,
onde C é uma constante arbitrária (redefinição de K). Esta é a solução implícita geral.
Observações importantes sobre soluções especiais:
  • Se C=0 então (y+x)(y+4x)^2=0, o que dá as soluções em linha reta y=-x e y=-4x. Essas linhas satisfazem a equação diferencial (verificação direta), e aparecem como casos particulares do resultado com C=0.
  • A reta y=-2x não é solução (faz o denominador 2x+y anular-se, e a equação original não fica definida ali, exceto possivelmente trivialmente no ponto x=0).

Passo 8

Resumo final e dica prática para prova: a técnica usada foi a substituição v=y/x quando o lado direito depende só da razão y/x. Depois veio separação de variáveis e integração por frações parciais. Na prova, identifique rapidamente v=y/x, calcule dy/dx=v+x\,dv/dx, reduza, separe e integre — treino faz isso virar automático.

Resposta

(y+x)(y+4x)^2 = C,\quad C\in\mathbb{R}

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