Resolva as equações diferenciais
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
Devemos encontrar a solução geral desta equação (uma relação entre
e
que seja satisfeita por todas as soluções). Vou anotar as funções que aparecem multiplicando
e
:
Essas são todas as informações que o enunciado fornece. A partir daqui vamos verificar propriedades de
e
para escolher o método de solução.
Passo 2
Verificamos se a equação é exata. Uma equação
é exata quando
Calculemos as derivadas parciais (tratando
e
como variáveis independentes).
Primeiro,
Segundo,
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
e a solução geral é
para constante
.
Passo 3
Vamos encontrar
. Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Separe a integral:
e
Agora calculamos a integral dentro:
Para
usamos integração por partes (ou a primitiva conhecida): tomando
,
dá
Somando,
Portanto a parte dependente de
é
Assim obtemos
onde
é uma função de
que aparece porque ao integrar em
tratamos
como constante.
Passo 4
Agora usamos a condição
para determinar
. Calculamos
Igualando a
obtemos
Integrando
em
,
onde
é uma constante. Podemos absorver
na constante final da solução implícita.
Substituindo
em
, obtemos a função potencial completa (ignorando a constante arbitrária adicional):
Passo 5
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
portanto
onde
é uma constante arbitrária. Se quiser isolar
(quando
), podemos escrever explicitamente
Ambas as formas representam a família de soluções.