(3,0) Resolva as equações diferenciais
\left(1+e^{x} y+x e^{x} y\right) d x+\left(x e^{x}+2\right) d y=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(1+e^{x} y+x e^{x} y\right)\,dx+\left(x e^{x}+2\right)\,dy=0.
Devemos encontrar a solução geral desta equação (uma relação entre x e y que seja satisfeita por todas as soluções). Vou anotar as funções que aparecem multiplicando dx e dy:
M(x,y)=1+e^{x}y+x e^{x}y,\qquad N(x,y)=x e^{x}+2.
Essas são todas as informações que o enunciado fornece. A partir daqui vamos verificar propriedades de M e N para escolher o método de solução.

Passo 2

Verificamos se a equação é exata. Uma equação M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata quando
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais (tratando x e y como variáveis independentes).
Primeiro,
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(1+e^{x}y+x e^{x}y\bigr)=e^{x}+x e^{x}=e^{x}(1+x).
Segundo,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x e^{x}+2\bigr)=e^{x}+x e^{x}=e^{x}(1+x).
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata. Isso significa que existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y),\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y),
e a solução geral é \Phi(x,y)=C para constante C.

Passo 3

Vamos encontrar \Phi(x,y). Integramos M(x,y) em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\bigl(1+e^{x}y+x e^{x}y\bigr)\,dx.
Separe a integral:
\int 1\,dx = x,
e
\int \bigl(e^{x}y+x e^{x}y\bigr)\,dx = y\int\bigl(e^{x}+x e^{x}\bigr)\,dx.
Agora calculamos a integral dentro:
\int e^{x}\,dx = e^{x}.
Para \int x e^{x}\,dx usamos integração por partes (ou a primitiva conhecida): tomando u=x, dv=e^{x}dx
\int x e^{x}\,dx = x e^{x}-\int e^{x}\,dx = x e^{x}-e^{x}=e^{x}(x-1).
Somando,
\int\bigl(e^{x}+x e^{x}\bigr)\,dx = e^{x}+e^{x}(x-1)=e^{x}x.
Portanto a parte dependente de y é
y\cdot e^{x}x = x e^{x} y.
Assim obtemos
\Phi(x,y)=x + x e^{x} y + g(y),
onde g(y) é uma função de y que aparece porque ao integrar em x tratamos y como constante.

Passo 4

Agora usamos a condição \partial \Phi/\partial y = N(x,y) para determinar g(y). Calculamos
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x e^{x}+g'(y).
Igualando a N(x,y)=x e^{x}+2 obtemos
x e^{x}+g'(y)=x e^{x}+2 \quad\Rightarrow\quad g'(y)=2.
Integrando g'(y)=2 em y,
g(y)=2y + C_0,
onde C_0 é uma constante. Podemos absorver C_0 na constante final da solução implícita.
Substituindo g(y) em \Phi, obtemos a função potencial completa (ignorando a constante arbitrária adicional):
\Phi(x,y)=x + x e^{x} y + 2y.

Passo 5

A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
\Phi(x,y)=C,
portanto
x + x e^{x} y + 2y = C,
onde C é uma constante arbitrária. Se quiser isolar y (quando x e^{x}+2\neq 0), podemos escrever explicitamente
y=\frac{C-x}{x e^{x}+2}.
Ambas as formas representam a família de soluções.

Resposta

x + x e^{x} y + 2y = C

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