Resolva as equações diferenciais lineares.
\frac{d y}{d x}+y=e^{3 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx} + y = e^{3x}.
Informações relevantes dadas:
  • É uma equação diferencial de primeira ordem.
  • O termo com y tem coeficiente constante igual a 1.
  • O termo do lado direito é e^{3x}.
    A tarefa é encontrar a solução geral y(x).

Passo 2

Observação sobre a estratégia (sem nomear matérias): a equação está na forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
com P(x)=1 e Q(x)=e^{3x}. Há um método direto que transforma o lado esquerdo numa derivada de produto, usando um fator multiplicativo que chamamos de fator integrante. Vou explicar esse passo a passo e o porquê funciona.

Passo 3

Definição e motivo do fator integrante: o objetivo é achar uma função \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo vire exatamente a derivada de \mu(x)\,y(x). Ou seja, queremos
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y(x)\big)=\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu'(x)\,y(x).
Comparando com \mu(x)\big(\frac{dy}{dx}+P(x)y\big) vemos que precisamos de \mu'(x)=\mu(x)P(x). Isso leva à equação separável para \mu:
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=P(x).
Integrando, obtemos
\ln\big(\mu(x)\big)=\int P(x)\,dx + \text{const},
portanto podemos tomar
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Essa é a razão pela qual escolhemos \mu: ela garante que o lado esquerdo vire \frac{d}{dx}(\mu y).

Passo 4

Aplicando ao caso concreto: aqui P(x)=1, então
\mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
(Obs.: constantes de integração multiplicativas em \mu não mudam a solução final, por isso escolhemos a forma simples.)

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{x}. Fazendo isso obtemos
e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y = e^{x}\,e^{3x}=e^{4x}.
Pelo motivo explicado antes, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big) = e^{4x}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)\,dx = \int e^{4x}\,dx.
A integral à esquerda dá e^{x}y. Para a direita usamos a regra \int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}e^{ax}+C. Assim
e^{x}y = \frac{1}{4}e^{4x} + C,
onde C é a constante de integração arbitrária.

Passo 7

Isolamos y dividindo por e^{x}:
y = e^{-x}\!\left(\frac{1}{4}e^{4x} + C\right) = \frac{1}{4}e^{3x} + C e^{-x}.
Esse é o resultado final: a solução geral é a soma de uma solução particular \frac{1}{4}e^{3x} e da solução geral da homogênea C e^{-x}.

Passo 8

Verificação rápida (útil na prova): derivando a solução e substituindo na equação original para conferir.
Calculemos \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = \frac{3}{4}e^{3x} - C e^{-x}.
Somando y obtemos
\frac{dy}{dx}+y = \left(\frac{3}{4}e^{3x} - C e^{-x}\right) + \left(\frac{1}{4}e^{3x}+C e^{-x}\right) = e^{3x},
que é exatamente o lado direito. Então a solução está correta.

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{4}e^{3x}+C\,e^{-x}

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