Resolva as equações diferenciais lineares.
\frac{d y}{d x}+y=e^{3 x}
\frac{d y}{d x}+y=e^{3 x}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações relevantes dadas:
- É uma equação diferencial de primeira ordem.
- O termo com
tem coeficiente constante igual a . - O termo do lado direito é
.
A tarefa é encontrar a solução geral.
Passo 2
Observação sobre a estratégia (sem nomear matérias): a equação está na forma padrão
com
e
. Há um método direto que transforma o lado esquerdo numa derivada de produto, usando um fator multiplicativo que chamamos de fator integrante. Vou explicar esse passo a passo e o porquê funciona.
Passo 3
Definição e motivo do fator integrante: o objetivo é achar uma função
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo vire exatamente a derivada de
. Ou seja, queremos
Comparando com
vemos que precisamos de
. Isso leva à equação separável para
:
Integrando, obtemos
portanto podemos tomar
Essa é a razão pela qual escolhemos
: ela garante que o lado esquerdo vire
.
Passo 4
Aplicando ao caso concreto: aqui
, então
(Obs.: constantes de integração multiplicativas em
não mudam a solução final, por isso escolhemos a forma simples.)
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
. Fazendo isso obtemos
Pelo motivo explicado antes, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral à esquerda dá
. Para a direita usamos a regra
. Assim
onde
é a constante de integração arbitrária.
Passo 7
Isolamos
dividindo por
:
Esse é o resultado final: a solução geral é a soma de uma solução particular
e da solução geral da homogênea
.
Passo 8
Verificação rápida (útil na prova): derivando a solução e substituindo na equação original para conferir.
Calculemos :
Calculemos
Somando
obtemos
que é exatamente o lado direito. Então a solução está correta.