Resolva as equações diferenciais lineares.
3 \frac{d y}{d x}+12 y=4
3 \frac{d y}{d x}+12 y=4
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada. Informações fornecidas:
Então temos uma equação envolvendo a derivada de
em relação a
e coeficientes numéricos:
,
e o termo independente
. A tarefa é encontrar a função
que satisfaz essa igualdade.
Passo 2
Primeiro simplificamos a equação dividindo tudo por
para deixá-la numa forma mais simples. Dividindo ambos os lados por
obtemos:
Essa forma é mais prática para trabalhar: tem o termo
, um termo proporcional a
e um lado direito constante.
Passo 3
Explico a estratégia que vou usar (sem pressa): para equações lineares de primeira ordem com coeficientes constantes como esta, a solução geral é a soma de uma solução da equação homogênea (onde o termo independente é zero) e de uma solução particular da equação completa. Ou seja:
onde
satisfaz a equação homogênea e
é qualquer função que satisfaça a equação completa. Agora vamos achar
e
passo a passo.
Passo 4
Calculando a solução homogênea: escrevemos a equação homogênea associada, ou seja com o lado direito zero:
Esta é uma equação separável. Reescrevendo:
Separamos variáveis para integrar:
. Integramos ambos os lados:
onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados obtemos
com
uma constante arbitrária real. Aqui
é a família de soluções da parte homogênea.
Passo 5
Agora procuramos uma solução particular
da equação completa
Como o termo à direita é constante, uma tentativa simples e eficaz é procurar uma solução particular também constante: suponha
, com
constante. Se
então
. Substituindo na equação:
Resolve-se para
:
Portanto uma solução particular é
.
Passo 6
Somando a solução homogênea e a particular, obtemos a solução geral:
onde
é a constante arbitrária real que aparecerá da integração (determina-se se houver uma condição inicial).
Passo 7
Pra fechar com a verificação rápida: derivando
e substituindo na equação original confirmamos que satisfaz. Calculando
. Substituindo em
:
portanto a igualdade é satisfeita, como esperado.
Passo 8
Se, num exercício de prova, te derem uma condição inicial do tipo
, aí é só substituir
e
em
e resolver para
. Isso te dá a solução particular que atende a essa condição.