Resolva as equações diferenciais lineares.
3 \frac{d y}{d x}+12 y=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada. Informações fornecidas:
3\frac{dy}{dx}+12y=4.
Então temos uma equação envolvendo a derivada de y em relação a x e coeficientes numéricos: 3, 12 e o termo independente 4. A tarefa é encontrar a função y(x) que satisfaz essa igualdade.

Passo 2

Primeiro simplificamos a equação dividindo tudo por 3 para deixá-la numa forma mais simples. Dividindo ambos os lados por 3 obtemos:
\frac{dy}{dx}+4y=\frac{4}{3}.
Essa forma é mais prática para trabalhar: tem o termo \frac{dy}{dx}, um termo proporcional a y e um lado direito constante.

Passo 3

Explico a estratégia que vou usar (sem pressa): para equações lineares de primeira ordem com coeficientes constantes como esta, a solução geral é a soma de uma solução da equação homogênea (onde o termo independente é zero) e de uma solução particular da equação completa. Ou seja:
y(x)=y_h(x)+y_p(x),
onde y_h satisfaz a equação homogênea e y_p é qualquer função que satisfaça a equação completa. Agora vamos achar y_h e y_p passo a passo.

Passo 4

Calculando a solução homogênea: escrevemos a equação homogênea associada, ou seja com o lado direito zero:
\frac{dy}{dx}+4y=0.
Esta é uma equação separável. Reescrevendo:
\frac{dy}{dx}=-4y.
Separamos variáveis para integrar: \frac{1}{y}\,dy=-4\,dx. Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -4\,dx \quad\Rightarrow\quad \ln|y| = -4x + C_1,
onde C_1 é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados obtemos
y_h(x)=C e^{-4x},
com C=\pm e^{C_1} uma constante arbitrária real. Aqui y_h é a família de soluções da parte homogênea.

Passo 5

Agora procuramos uma solução particular y_p da equação completa
\frac{dy}{dx}+4y=\frac{4}{3}.
Como o termo à direita é constante, uma tentativa simples e eficaz é procurar uma solução particular também constante: suponha y_p(x)=A, com A constante. Se y_p=A então \frac{dy_p}{dx}=0. Substituindo na equação:
0+4A=\frac{4}{3}.
Resolve-se para A:
4A=\frac{4}{3}\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{3}.
Portanto uma solução particular é y_p(x)=\dfrac{1}{3}.

Passo 6

Somando a solução homogênea e a particular, obtemos a solução geral:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C e^{-4x}+\frac{1}{3},
onde C é a constante arbitrária real que aparecerá da integração (determina-se se houver uma condição inicial).

Passo 7

Pra fechar com a verificação rápida: derivando y(x) e substituindo na equação original confirmamos que satisfaz. Calculando \dfrac{dy}{dx}=-4C e^{-4x}. Substituindo em 3\frac{dy}{dx}+12y:
3(-4C e^{-4x})+12\left(C e^{-4x}+\frac{1}{3}\right) = -12C e^{-4x}+12C e^{-4x}+12\cdot\frac{1}{3}=4,
portanto a igualdade é satisfeita, como esperado.

Passo 8

Se, num exercício de prova, te derem uma condição inicial do tipo y(x_0)=y_0, aí é só substituir x=x_0 e y=y_0 em
y(x)=C e^{-4x}+\frac{1}{3}
e resolver para C. Isso te dá a solução particular que atende a essa condição.

Resposta

y(x)=C e^{-4x}+\frac{1}{3}

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