Calcule
, onde
é o retângulo no plano
cujos vértices são us pontos
, e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é um retângulo no plano
cujos vértices dados são
,
e
. As perguntas implícitas e informações relevantes são:
- Qual é a região
explicitamente (os quatro vértices do retângulo)? - Calcular o valor numérico (ou expressão conhecida) da integral dupla
.
Informações dadas pelo enunciado: a integranda ée os vértices indicam que é o retângulo com cantos em .
Passo 2
Descrever a região
de forma útil para integrar. Pelos vértices,
é o produto dos intervalos:
ou seja,
. Isso é importante porque em retângulos podemos usar integrais iteradas com facilidade.
Passo 3
Verificar a integrabilidade / continuidade da função no retângulo. A função dada é
, que aparentemente tem problema em
. Precisamos checar o comportamento em
.
Calcule o limite
Calcule o limite
Usando a regra de l’Hôpital (ou o conhecido limite trigonométrico), temos
Isso mostra que a singularidade em
é removível: se definirmos o valor da função em
como
, a função fica contínua em todo o retângulo fechado
. Portanto a função é integrável em
e podemos aplicar as propriedades de integrais em retângulos (teorema de Fubini).
Passo 4
Aplicar o teorema de Fubini (ou seja, escrever a integral dupla como uma iterada). Como a função é contínua em
, vale
Aqui estou escolhendo integrar primeiro em
porque a integranda não depende de
; isso simplifica muito o cálculo.
Passo 5
Calcular a integral interna em
. Como
é constante em relação a
, podemos fatorá-la para fora da integral em
:
Portanto a integral dupla se reduz a uma integral simples em
:
Passo 6
Reconhecer a integral
. Esta integral não possui primitiva elementar expressável por funções básicas, mas é a função conhecida como integral seno (sine integral). Definimos
Observação: estou usando
no lugar de
na definição porque são equivalentes; a notação
é padrão para essa função. Assim
Logo a integral pedida tem a forma fechada
Passo 7
Se quiser um valor numérico aproximado para usar na prova ou conferir resultado, podemos aproximar
. Usando a expansão em série de
,
integramos termo a termo de
a
para obter uma boa aproximação:
Multiplicando por
,
Arredondando razoavelmente,
.
Passo 8
Resumo rápido do procedimento (para você repetir na prova): identificar
; notar que integranda não depende de
; usar Fubini e fatorar a integranda na integral em
; reduzir a uma integral em
; reconhecer a integral como
e multiplicar por
. Pronto — você resolve esse tipo de questão de forma direta e rápida na prova.