Calcule \iint_{R} \frac{\operatorname{sen} x}{x} d A, onde R é o retângulo no plano x_{0} y cujos vértices são us pontos (0,0),(1,0), e (1,2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{\operatorname{sen} x}{x}\,dA,
onde R é um retângulo no plano xy cujos vértices dados são (0,0), (1,0) e (1,2). As perguntas implícitas e informações relevantes são:
  • Qual é a região R explicitamente (os quatro vértices do retângulo)?
  • Calcular o valor numérico (ou expressão conhecida) da integral dupla \iint_{R}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x}\,dA.
    Informações dadas pelo enunciado: a integranda é \dfrac{\operatorname{sen} x}{x} e os vértices indicam que R é o retângulo com cantos em (0,0),(1,0),(1,2),(0,2).

Passo 2

Descrever a região R de forma útil para integrar. Pelos vértices, R é o produto dos intervalos:
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 2\},
ou seja, R=[0,1]\times[0,2]. Isso é importante porque em retângulos podemos usar integrais iteradas com facilidade.

Passo 3

Verificar a integrabilidade / continuidade da função no retângulo. A função dada é \dfrac{\operatorname{sen} x}{x}, que aparentemente tem problema em x=0. Precisamos checar o comportamento em x=0.
Calcule o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}.
Usando a regra de l’Hôpital (ou o conhecido limite trigonométrico), temos
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Isso mostra que a singularidade em x=0 é removível: se definirmos o valor da função em x=0 como 1, a função fica contínua em todo o retângulo fechado R. Portanto a função é integrável em R e podemos aplicar as propriedades de integrais em retângulos (teorema de Fubini).

Passo 4

Aplicar o teorema de Fubini (ou seja, escrever a integral dupla como uma iterada). Como a função é contínua em R, vale
\iint_{R}\frac{\operatorname{sen} x}{x}\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{2}\frac{\operatorname{sen} x}{x}\,dy\right)dx.
Aqui estou escolhendo integrar primeiro em y porque a integranda não depende de y; isso simplifica muito o cálculo.

Passo 5

Calcular a integral interna em y. Como \dfrac{\operatorname{sen} x}{x} é constante em relação a y, podemos fatorá-la para fora da integral em y:
\int_{y=0}^{2}\frac{\operatorname{sen} x}{x}\,dy = \frac{\operatorname{sen} x}{x}\int_{y=0}^{2}1\,dy = \frac{\operatorname{sen} x}{x}\cdot 2 = 2\frac{\operatorname{sen} x}{x}.
Portanto a integral dupla se reduz a uma integral simples em x:
\iint_{R}\frac{\operatorname{sen} x}{x}\,dA = \int_{0}^{1} 2\frac{\operatorname{sen} x}{x}\,dx = 2\int_{0}^{1}\frac{\operatorname{sen} x}{x}\,dx.

Passo 6

Reconhecer a integral \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\operatorname{sen} x}{x}\,dx. Esta integral não possui primitiva elementar expressável por funções básicas, mas é a função conhecida como integral seno (sine integral). Definimos
\operatorname{Si}(t)=\int_{0}^{t}\frac{\sin u}{u}\,du.
Observação: estou usando \sin no lugar de \operatorname{sen} na definição porque são equivalentes; a notação \operatorname{Si} é padrão para essa função. Assim
\int_{0}^{1}\frac{\operatorname{sen} x}{x}\,dx = \operatorname{Si}(1).
Logo a integral pedida tem a forma fechada
\iint_{R}\frac{\operatorname{sen} x}{x}\,dA = 2\,\operatorname{Si}(1).

Passo 7

Se quiser um valor numérico aproximado para usar na prova ou conferir resultado, podemos aproximar \operatorname{Si}(1). Usando a expansão em série de \dfrac{\sin t}{t},
\frac{\sin t}{t}=1-\frac{t^{2}}{6}+\frac{t^{4}}{120}-\frac{t^{6}}{5040}+\cdots,
integramos termo a termo de 0 a 1 para obter uma boa aproximação:
\operatorname{Si}(1)\approx 1-\frac{1}{18}+\frac{1}{600}-\frac{1}{35280}\approx 0,9460827\ldots
Multiplicando por 2,
2\,\operatorname{Si}(1)\approx 1,8921654\ldots
Arredondando razoavelmente, \;2\,\operatorname{Si}(1)\approx 1,89217.

Passo 8

Resumo rápido do procedimento (para você repetir na prova): identificar R=[0,1]\times[0,2]; notar que integranda não depende de y; usar Fubini e fatorar a integranda na integral em y; reduzir a uma integral em x; reconhecer a integral como \operatorname{Si}(1) e multiplicar por 2. Pronto — você resolve esse tipo de questão de forma direta e rápida na prova.

Resposta

2\,\operatorname{Si}(1)
\approx 1,89217

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