Resolva as equações diferenciais lineares.
y^{\prime}=3 x^{2} y - x^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' = 3x^{2}y - x^{2}
e pede para encontrar a solução geral y(x). Informação relevante: a incógnita é a função y(x) e temos uma equação diferencial de primeira ordem. Nosso objetivo é obter uma expressão para y em termos de x contendo a constante arbitrária da solução geral.

Passo 2

Primeiro vamos colocar a equação na forma linear padrão
y' + P(x)\,y = Q(x).
Subtraindo 3x^{2}y dos dois lados obtemos
y' - 3x^{2}y = -x^{2}.
Portanto aqui
P(x) = -3x^{2}\qquad\text{e}\qquad Q(x) = -x^{2}.
Explicação do método (ufa, calma!): para equações lineares de primeira ordem da forma \,y'+P(x)y=Q(x)\, existe uma técnica chamada fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(x) (o fator integrante) escolhida de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)y(x). Isso transforma a equação numa forma fácil de integrar. A condição para isso é
\mu'(x) = P(x)\,\mu(x),
cuja solução é
\mu(x)=\exp\!\bigg(\int P(x)\,dx\bigg).
Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calculemos o fator integrante usando P(x)=-3x^{2}:
\mu(x)=\exp\!\bigg(\int -3x^{2}\,dx\bigg)=\exp(-x^{3}).
Comentário: integramos -3x^{2} para obter -x^{3} e aplicamos a exponencial. Sempre que usar essa fórmula, faça exatamente esse cálculo: integrar P(x) e exponenciar.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{-x^{3}}. A equação y' - 3x^{2}y = -x^{2} fica
e^{-x^{3}}y' - 3x^{2}e^{-x^{3}}y = -x^{2}e^{-x^{3}}.
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{-x^{3}}y\big) = -x^{2}e^{-x^{3}}.
Isto é exatamente o que queríamos: reduzimos a equação a uma forma integrável.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
e^{-x^{3}}y = \int -x^{2}e^{-x^{3}}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Para computar a integral use substituição simples. Faça u=x^{3}, então du=3x^{2}\,dx e x^{2}\,dx = \dfrac{du}{3}. Assim
\int -x^{2}e^{-x^{3}}\,dx = -\int \frac{1}{3}e^{-u}\,du = -\frac{1}{3}\big(-e^{-u}\big) + \tilde C = \frac{1}{3}e^{-u} + \tilde C.
Voltando para x (substituindo u=x^{3}) obtemos
\int -x^{2}e^{-x^{3}}\,dx = \frac{1}{3}e^{-x^{3}} + \tilde C,
onde \tilde C é outra constante (que será absorvida em C). Portanto
e^{-x^{3}}y = \frac{1}{3}e^{-x^{3}} + C.

Passo 6

Isolando y, multiplicamos por e^{x^{3}}:
y = \frac{1}{3} + C e^{x^{3}}.
Aqui C é a constante arbitrária da solução geral. Observação prática para prova: ao integrar você sempre terá uma constante; ao simplificar, combine constantes equivalentes numa só, como fiz acima.

Passo 7

Checagem rápida (sempre bom fazer na prova): derive y:
y' = C\cdot 3x^{2}e^{x^{3}}.
O lado direito da equação original é
3x^{2}y - x^{2} = 3x^{2}\Big(\frac{1}{3}+C e^{x^{3}}\Big) - x^{2} = 3x^{2}C e^{x^{3}},
que coincide com y'. Tudo certo!

Resposta

y(x)=C e^{x^{3}}+\frac{1}{3}

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