Resolva as equações diferenciais lineares.
y^{\prime}=3 x^{2} y - x^{2}
y^{\prime}=3 x^{2} y - x^{2}
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral
. Informação relevante: a incógnita é a função
e temos uma equação diferencial de primeira ordem. Nosso objetivo é obter uma expressão para
em termos de
contendo a constante arbitrária da solução geral.
Passo 2
Primeiro vamos colocar a equação na forma linear padrão
Subtraindo
dos dois lados obtemos
Portanto aqui
Explicação do método (ufa, calma!): para equações lineares de primeira ordem da forma
existe uma técnica chamada fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função
(o fator integrante) escolhida de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de
. Isso transforma a equação numa forma fácil de integrar. A condição para isso é
cuja solução é
Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calculemos o fator integrante usando
:
Comentário: integramos
para obter
e aplicamos a exponencial. Sempre que usar essa fórmula, faça exatamente esse cálculo: integrar
e exponenciar.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. A equação
fica
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Isto é exatamente o que queríamos: reduzimos a equação a uma forma integrável.
Passo 5
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Para computar a integral use substituição simples. Faça
, então
e
. Assim
Voltando para
(substituindo
) obtemos
onde
é outra constante (que será absorvida em
). Portanto
Passo 6
Isolando
, multiplicamos por
:
Aqui
é a constante arbitrária da solução geral. Observação prática para prova: ao integrar você sempre terá uma constante; ao simplificar, combine constantes equivalentes numa só, como fiz acima.
Passo 7
Checagem rápida (sempre bom fazer na prova): derive
:
O lado direito da equação original é
que coincide com
. Tudo certo!