Resolva estas equações diferenciais por meio de séries e então compare os resultados com as soluções obtidas por outras técnicas
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
por meio de séries (isto é, assumir uma solução em série de potências e obter coeficientes) e então comparar o resultado com a solução obtida por outras técnicas. Informações dadas/necessárias, listadas claramente:
- A equação é linear, homogênea, com coeficientes constantes.
- Não foi especificado ponto de expansão, então usaremos a série centrada em
(série de Maclaurin). - Precisamos obter a solução geral (duas constantes arbitrárias) e depois comparar com a solução por método clássico (equação característica).
Passo 2
Assumimos solução em série de potências centrada em
:
onde cada
é um coeficiente a determinar. Explico como obter
e
a partir desta série e por que reindexamos:
Derivando termo a termo:
Para escrever tudo como soma em potências de
(mesma potência para comparar coeficientes), fazemos a mudança de índice
:
Derivando novamente:
e reindexando
para obter potências
:
Estas reindexações são padrão: queremos todas as somas com
para poder somar termo a termo e igualar coeficientes de cada potência.
Passo 3
Substituímos as séries em
. Usando as expressões reindexadas:
Juntando em uma única soma:
Como a soma é zero para todo
, os coeficientes de cada
devem ser zero. Assim obtemos a relação de recorrência
Isolando
:
Esta fórmula permite calcular todos os coeficientes a partir de
e
. Explico:
e
são livres (constantes arbitrárias) porque a EDO é de segunda ordem; portanto a série terá duas constantes arbitrárias como esperado.
Passo 4
Para ilustrar como gerar as séries, escolhemos as duas escolhas canônicas que geram duas soluções linearmente independentes:
-
(corresponde à solução com ); -
(corresponde à solução com ).
Vou calcular alguns coeficientes em cada caso usando a recorrência (faço
passo a passo).
Caso A:
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
(foi mostrado passo a passo como se combinam as frações)
Assim a série parcial é
Assim a série parcial é
Caso B:
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Assim a série parcial é
Estas duas séries geram a solução geral por combinação linear:
pois
e
foram escolhidos para reproduzir as condições iniciais.
Passo 5
Agora uso a técnica clássica (equação característica) para obter a solução em forma fechada e comparar.
Procure soluções da forma
. Substituindo em
dá a equação característica:
Resolvendo a quadrática:
Portanto
Como são raízes reais e distintas, a solução geral é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 6
Agora comparo com a solução por séries. A série de potências das exponenciais é conhecida:
A combinação linear dá
Logo os coeficientes
obtidos pela recorrência têm a forma
para constantes
. Em particular, nas relações iniciais:
Isto permite escrever
em função de
. Resolving o sistema:
Como verificação rápida: para o caso
(caso A acima) obtemos
,
e a combinação
expande em série exatamente igual à série que calculamos para
(confirmei os primeiros termos:
). Então as séries encontradas coincidem com as séries de Taylor das exponenciais que aparecem na solução fechada.
Passo 7
Conclusão operacional e dica para prova: usando séries de potências você obtém a recorrência
e duas constantes livres
. Expandindo a recorrência gera duas séries independentes (por exemplo as obtidas para
e
), e pode-se reconhecer que essas séries coincidem com combinações lineares de
e
. O método clássico pela equação característica é muito mais rápido para este caso (raízes
), produzindo a solução fechada
e as séries são apenas as séries de Taylor dessas exponenciais (com
determinados por
).