Resolva estas equações diferenciais por meio de séries e então compare os resultados com as soluções obtidas por outras técnicas
2 x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial por séries e comparar o resultado com soluções obtidas por outros métodos. A equação dada é
2 x^{2} y'' + 2 x y' = 0.
Informações relevantes que temos e que vou usar:
  • A equação pode ser simplificada dividindo por 2.
  • O ponto x=0 é singular (os coeficientes têm potências de x), então usaremos a expansão de Frobenius (séries do tipo x^{r}\sum a_n x^n) para tentar obter soluções em série ao redor de x=0.
  • Devemos comparar a solução por séries com soluções encontradas por outros métodos (integração direta / redução de ordem).

Passo 2

Primeiro simplifico a equação dividindo por 2:
x^{2} y'' + x y' = 0.
Vou procurar uma solução pelo método de Frobenius, isto é, suponho uma solução da forma
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n+r},
onde a_{0}\neq 0 e r é o expoente indicial a determinar. Eu uso essa forma porque o ponto x=0 pode ser singular e a série com fator x^{r} permite capturar soluções com comportamento singular do tipo potência.

Passo 3

Calculo as derivadas necessárias da série (tudo em notação de séries):
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (n+r) x^{n+r-1},
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (n+r)(n+r-1) x^{n+r-2}.

Passo 4

Substituo y, y' e y'' na equação x^{2} y'' + x y' = 0:
x^{2}\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (n+r)(n+r-1) x^{n+r-2} + x\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (n+r) x^{n+r-1}=0.
Simplificando as potências de x (ambos termos ficam com x^{n+r}):
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (n+r)(n+r-1) x^{n+r} + \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (n+r) x^{n+r}=0.
Agrupando os coeficientes:
\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (n+r)\bigl((n+r-1)+1\bigr) x^{n+r} = \sum_{n=0}^{\infty} a_{n} (n+r)^{2} x^{n+r}=0.
Como esta soma é zero para todo x num vizinhança (à exceção possível de 0), os coeficientes devem se anular:
a_{n} (n+r)^{2}=0\qquad\text{para todo }n\ge 0.

Passo 5

A equação a_{0} r^{2}=0 (caso n=0) dá a equação indicial
r^{2}=0,
ou seja, r=0 é uma raiz dupla. Para n\ge 1 temos a relação
a_{n} (n+r)^{2}=0.
Tomando r=0 (a única possibilidade), isso fica a_{n} n^{2}=0. Para n\ge 1 temos n^{2}\neq 0, logo a_{n}=0 para todo n\ge 1. Portanto a expansão de Frobenius fornece apenas a solução (analítica) constante:
y_{1}(x)=a_{0}\, x^{0}=\text{const}.
Conclusão parcial: o método em série (Frobenius) ao redor de x=0 produz uma única solução independente que é constante. Como a raiz indicial é dupla, esperamos uma segunda solução que envolva \ln x (não analítica em x=0) — o método de série padrão não captura esse termo logarítmico diretamente.

Passo 6

Agora obtenho a segunda solução por um método alternativo simples (integração direta / observação da forma total de derivada). Reescrevo a equação original simplificada como
x^{2} y'' + x y' = 0.
Note que
\frac{d}{dx}\bigl(x y'\bigr)=y' + x y''.
Multiplicando isto por x obtemos
x\frac{d}{dx}\bigl(x y'\bigr)=x y' + x^{2} y'',
que é exatamente o lado esquerdo da equação. Logo a equação pode ser escrita (para x\neq 0) como
x\frac{d}{dx}\bigl(x y'\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(x y'\bigr)=0.
Integrando uma vez,
x y' = C_{1},
onde C_{1} é constante. Dividindo por x (novamente x\neq 0),
y'=\frac{C_{1}}{x}.
Integrando de novo,
y(x)=C_{1}\ln|x| + C_{2}.
Portanto a solução geral (para x\neq 0) é
y(x)=C_{1}\ln|x| + C_{2}.

Passo 7

Faço uma breve comparação e interpretação entre os dois métodos:
  • O método de Frobenius em torno de x=0 deu apenas y_{1}= constante. Isso acontece porque a outra solução envolve \ln x, que não é uma função analítica em x=0, então a série de potências centrada em 0 não consegue representar esse termo logarítmico.
  • A integração direta / redução de ordem mostrou facilmente a estrutura da equação (é uma derivada exata em sentido multiplicado por x) e produziu a solução completa y=C_{1}\ln|x|+C_{2}.
  • A teoria de Frobenius prevê que, quando a equação indicial tem raiz dupla, a segunda solução geralmente contém um termo com \ln x. Portanto os resultados são consistentes: uma solução analítica (constante) e outra não analítica ( \ln|x|).

Passo 8

Observações finais e sobre domínio:
  • A solução geral é válida para x>0 e x<0 separadamente; por isso escrevemos \ln|x| para indicar validade em ambos os ramos. A solução não é válida exatamente em x=0 (singular).
  • Resumindo: série de potências ao redor de 0 produz a solução analítica constante; para obter a solução completa é necessário permitir o termo \ln x, que aparece por causa da raiz dupla da equação indicial.

Resposta

y(x)=C_{1}\ln|x|+C_{2}

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