Resolva estas equações diferenciais por meio de séries e então compare os resultados com as soluções obtidas por outras técnicas
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial por séries e comparar o resultado com soluções obtidas por outros métodos. A equação dada é
Informações relevantes que temos e que vou usar:
- A equação pode ser simplificada dividindo por
. - O ponto
é singular (os coeficientes têm potências de ), então usaremos a expansão de Frobenius (séries do tipo ) para tentar obter soluções em série ao redor de . - Devemos comparar a solução por séries com soluções encontradas por outros métodos (integração direta / redução de ordem).
Passo 2
Primeiro simplifico a equação dividindo por
:
Vou procurar uma solução pelo método de Frobenius, isto é, suponho uma solução da forma
onde
e
é o expoente indicial a determinar. Eu uso essa forma porque o ponto
pode ser singular e a série com fator
permite capturar soluções com comportamento singular do tipo potência.
Passo 3
Calculo as derivadas necessárias da série (tudo em notação de séries):
Passo 4
Substituo
,
e
na equação
:
Simplificando as potências de
(ambos termos ficam com
):
Agrupando os coeficientes:
Como esta soma é zero para todo
num vizinhança (à exceção possível de
), os coeficientes devem se anular:
Passo 5
A equação
(caso
) dá a equação indicial
ou seja,
é uma raiz dupla. Para
temos a relação
Tomando
(a única possibilidade), isso fica
. Para
temos
, logo
para todo
. Portanto a expansão de Frobenius fornece apenas a solução (analítica) constante:
Conclusão parcial: o método em série (Frobenius) ao redor de
produz uma única solução independente que é constante. Como a raiz indicial é dupla, esperamos uma segunda solução que envolva
(não analítica em
) — o método de série padrão não captura esse termo logarítmico diretamente.
Passo 6
Agora obtenho a segunda solução por um método alternativo simples (integração direta / observação da forma total de derivada). Reescrevo a equação original simplificada como
Note que
Multiplicando isto por
obtemos
que é exatamente o lado esquerdo da equação. Logo a equação pode ser escrita (para
) como
Integrando uma vez,
onde
é constante. Dividindo por
(novamente
),
Integrando de novo,
Portanto a solução geral (para
) é
Passo 7
Faço uma breve comparação e interpretação entre os dois métodos:
- O método de Frobenius em torno de
deu apenas constante. Isso acontece porque a outra solução envolve , que não é uma função analítica em , então a série de potências centrada em não consegue representar esse termo logarítmico. - A integração direta / redução de ordem mostrou facilmente a estrutura da equação (é uma derivada exata em sentido multiplicado por
) e produziu a solução completa . - A teoria de Frobenius prevê que, quando a equação indicial tem raiz dupla, a segunda solução geralmente contém um termo com
. Portanto os resultados são consistentes: uma solução analítica (constante) e outra não analítica ( ).
Passo 8
Observações finais e sobre domínio:
- A solução geral é válida para
e separadamente; por isso escrevemos para indicar validade em ambos os ramos. A solução não é válida exatamente em (singular). - Resumindo: série de potências ao redor de
produz a solução analítica constante; para obter a solução completa é necessário permitir o termo , que aparece por causa da raiz dupla da equação indicial.