Resolva as equações diferenciais pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o Método dos Coeficientes Indeterminados. Esse método é legal porque ajuda a encontrar soluções particulares para equações diferenciais lineares quando o termo da direita é uma função que a gente já sabe como lidar, tipo exponenciais, senos, cossenos, etc. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Para isso, achamos a equação característica substituindo
por
, o que nos dá:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas:
e
.
Passo 4
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo da direita é um exponencial
, vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde
é a constante que vamos determinar.
Passo 6
Vamos derivar
:
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 7
Agora, podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Então, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea
e da solução particular
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial
é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.