Resolva o problema de valor inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
, com as condições iniciais
e
. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares e métodos de solução para equações não homogêneas. Vamos precisar achar a solução geral da equação, que é a soma da solução da parte homogênea e uma solução particular da parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Isso significa que ignoramos o lado direito da equação e resolvemos apenas
.
A solução dessa equação é baseada nas raízes da equação característica
. Resolvendo, temos
. Isso nos dá uma solução geral da parte homogênea:
Onde
e
são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
.
Como o lado direito é
, que é
, vamos tentar uma solu��ão na forma
, onde
é uma constante a ser encontrada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Isso não resolve de forma direta, então precisamos usar o método dos coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros. Para simplificar, vamos usar a variação de parâmetros.
A solução particular usando variação de parâmetros é:
Onde
e
são funções que determinaremos. Após os cálculos, obtemos:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Então, nossa solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral:
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro,
:
Agora, derivamos
para usar a segunda condição
:
Aplicando
:
Resposta
A solução do problema é: