Resolva as equações diferenciais, pelo método do fator integrante:
\frac{d y}{d x}=y \ln x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=y\ln x.
Informações dadas que vamos usar:
  • A equação relaciona a derivada de y com y e \ln x.
  • Precisamos encontrar a família de soluções y(x).
  • Observação importante: a função \ln x está definida apenas para x>0, então a solução que obtivermos valerá para x>0.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma linear padrão \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x). Começando de
\frac{dy}{dx}=y\ln x,
passamos tudo para o lado esquerdo:
\frac{dy}{dx}-y\ln x=0.
Assim, identificamos
P(x)=-\ln x,\qquad Q(x)=0.

Passo 3

Vou explicar o que é o fator integrante (sem pânico, é só uma técnica): para uma equação linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x),
o fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Ele tem a propriedade muito útil de transformar o lado esquerdo da equação na derivada do produto \mu(x)\,y(x), porque
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu'y=\mu\left(\frac{dy}{dx}+P y\right),
já que \mu'=\mu P. Essa identidade é a razão de usarmos \mu.

Passo 4

Calculemos o fator integrante usando P(x)=-\ln x:
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\ln x\,dx\right).
Precisamos encontrar \int \ln x\,dx. Usamos integração por partes: tome \,u=\ln x e \,dv=dx. Então \,du=\dfrac{1}{x}dx e \,v=x. Pela fórmula,
\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln x - \int 1\,dx = x\ln x - x.
Portanto
\int -\ln x\,dx = -\big(x\ln x - x\big) = -x\ln x + x.

Passo 5

Agora substituímos na definição de \mu:
\mu(x)=\exp\!\big(-x\ln x + x\big).
Podemos simplificar essa expressão exponencial. Observe que
\exp(-x\ln x)=\big(\exp(\ln x)\big)^{-x}=x^{-x},
então
\mu(x)=\exp(x)\,x^{-x}=e^{x}x^{-x}.

Passo 6

Multiplicamos a equação linear original por \mu(x). A equação \dfrac{dy}{dx}-y\ln x=0 ao multiplicar por \mu vira
\mu\frac{dy}{dx} - \mu y\ln x =0.
Pela propriedade do fator integrante (explicada no Passo 3), o lado esquerdo é a derivada de \mu y, isto é,
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=0.

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a x obtemos
\mu(x)\,y(x)=C,
onde C é a constante de integração (real). Como Q(x)=0, não há termo adicional na integral.

Passo 8

Isolamos y(x):
y(x)=\frac{C}{\mu(x)}.
Substituindo \mu(x)=e^{x}x^{-x} temos
y(x)=\frac{C}{e^{x}x^{-x}}=C\,e^{-x}x^{x}.

Passo 9

Comentário final e domínio: a solução geral é
y(x)=C\,e^{-x}x^{x},
com C constante real e válida para x>0 (pois usamos \ln x e x^{x} com x>0). Podemos verificar rapidamente que essa expressão satisfaz \dfrac{dy}{dx}=y\ln x substituindo e confirmando (essa verificação é igual à feita usando o método separável).

Resposta

y(x)=C\,e^{-x}x^{x},\qquad x>0,\;C\in\mathbb{R}.

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