Resolva as equações diferenciais, pelo método do fator integrante:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas que vamos usar:
- A equação relaciona a derivada de
com e . - Precisamos encontrar a família de soluções
. - Observação importante: a função
está definida apenas para , então a solução que obtivermos valerá para .
Passo 2
Reescrevemos a equação na forma linear padrão
. Começando de
passamos tudo para o lado esquerdo:
Assim, identificamos
Passo 3
Vou explicar o que é o fator integrante (sem pânico, é só uma técnica): para uma equação linear de primeira ordem
o fator integrante
é definido por
Ele tem a propriedade muito útil de transformar o lado esquerdo da equação na derivada do produto
, porque
já que
. Essa identidade é a razão de usarmos
.
Passo 4
Calculemos o fator integrante usando
:
Precisamos encontrar
. Usamos integração por partes: tome
e
. Então
e
. Pela fórmula,
Portanto
Passo 5
Agora substituímos na definição de
:
Podemos simplificar essa expressão exponencial. Observe que
então
Passo 6
Multiplicamos a equação linear original por
. A equação
ao multiplicar por
vira
Pela propriedade do fator integrante (explicada no Passo 3), o lado esquerdo é a derivada de
, isto é,
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
obtemos
onde
é a constante de integração (real). Como
, não há termo adicional na integral.
Passo 8
Isolamos
:
Substituindo
temos
Passo 9
Comentário final e domínio: a solução geral é
com
constante real e válida para
(pois usamos
e
com
). Podemos verificar rapidamente que essa expressão satisfaz
substituindo e confirmando (essa verificação é igual à feita usando o método separável).