Resolva as equações diferenciais, pelo método do fator integrante:
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
Pergunta: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial no domínio indicado. Informações relevantes dadas: a equação é válida para
(portanto
) e temos um valor inicial em
.
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, isto é
Como
, podemos dividir toda a equação por
. Dividindo
por
obtemos
Aqui
e
. Nada complicado até aqui — só rearranjar para o formato que o método exige.
Passo 3
Agora vamos ao método do fator integrante. Vou explicar o porquê: para a equação
o fator integrante
é definido por
Isto funciona porque, multiplicando a equação por
, o lado esquerdo se torna a derivada do produto
(é consequência da regra do produto). Aqui
, então
Como
podemos simplificar
. Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. A equação padrão era
. Multiplicando por
temos
Agora observe a regra do produto:
. Portanto o lado esquerdo da igualdade é exatamente
. Assim podemos escrever a equação como
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
. À esquerda a integral da derivada retorna o produto, à direita integramos termo a termo:
Isto dá
Calcule as primitivas passo a passo:
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolamos
dividindo por
(novamente possível pois
):
Esta é a solução geral da equação diferencial (com
arbitrária).
Passo 7
Agora aplicamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
na solução geral:
Simplificando os termos numéricos:
Logo
Passo 8
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial: