Resolva as equações diferenciais, pelo método do fator integrante:
x \frac{d y}{d x}+2 y=x^{2}-x+1, y(1)=\frac{1}{2}, x>0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
x\frac{dy}{dx}+2y=x^{2}-x+1,\quad y(1)=\tfrac{1}{2},\quad x>0.
Pergunta: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial no domínio indicado. Informações relevantes dadas: a equação é válida para x>0 (portanto x\neq 0) e temos um valor inicial em x=1.

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, isto é
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Como x>0, podemos dividir toda a equação por x. Dividindo x\frac{dy}{dx}+2y=x^{2}-x+1 por x obtemos
\frac{dy}{dx}+\frac{2}{x}y = x-1+\frac{1}{x}.
Aqui P(x)=\dfrac{2}{x} e Q(x)=x-1+\dfrac{1}{x}. Nada complicado até aqui — só rearranjar para o formato que o método exige.

Passo 3

Agora vamos ao método do fator integrante. Vou explicar o porquê: para a equação
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x),
o fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Isto funciona porque, multiplicando a equação por \mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada do produto \mu(x)y (é consequência da regra do produto). Aqui P(x)=\dfrac{2}{x}, então
\mu(x)=\exp\!\Big(\int \frac{2}{x}\,dx\Big)=\exp(2\ln x).
Como x>0 podemos simplificar \exp(2\ln x)=(\exp(\ln x))^{2}=x^{2}. Logo
\mu(x)=x^{2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x^{2}. A equação padrão era \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{2}{x}y = x-1+\dfrac{1}{x}. Multiplicando por x^{2} temos
x^{2}\frac{dy}{dx}+2x\,y = x^{3}-x^{2}+x.
Agora observe a regra do produto: \dfrac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=x^{2}\dfrac{dy}{dx}+2x\,y. Portanto o lado esquerdo da igualdade é exatamente \dfrac{d}{dx}\big(x^{2}y\big). Assim podemos escrever a equação como
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)=x^{3}-x^{2}+x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x. À esquerda a integral da derivada retorna o produto, à direita integramos termo a termo:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{2}y\big)\,dx = \int (x^{3}-x^{2}+x)\,dx.
Isto dá
x^{2}y = \int x^{3}\,dx - \int x^{2}\,dx + \int x\,dx + C.
Calcule as primitivas passo a passo:
\int x^{3}\,dx=\frac{x^{4}}{4},\qquad \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3},\qquad \int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Portanto
x^{2}y = \frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y dividindo por x^{2} (novamente possível pois x>0):
y = \frac{x^{2}}{4}-\frac{x}{3}+\frac{1}{2}+C\,x^{-2}.
Esta é a solução geral da equação diferencial (com C arbitrária).

Passo 7

Agora aplicamos a condição inicial y(1)=\tfrac{1}{2} para determinar C. Substituindo x=1 na solução geral:
\tfrac{1}{2} = \frac{1^{2}}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+C\cdot 1^{-2}.
Simplificando os termos numéricos:
\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2} = \frac{3-4+6}{12}=\frac{5}{12}.
Logo
\frac{1}{2} = \frac{5}{12}+C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{2}-\frac{5}{12}=\frac{6-5}{12}=\frac{1}{12}.

Passo 8

Substituindo C=\dfrac{1}{12} na solução geral obtemos a solução particular que satisfaz a condição inicial:
y(x)=\frac{x^{2}}{4}-\frac{x}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\,x^{-2},\qquad x>0.

Resposta

y(x)=\frac{x^{2}}{4}-\frac{x}{3}+\frac{1}{2}+\frac{1}{12}\,x^{-2},\quad x>0

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