Resolva as equações diferenciais, pelo método do fator integrante:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações relevantes que temos:
- A incógnita é a função
. - A equação é uma equação diferencial de primeira ordem (só envolve
e ). - Não há condição inicial fornecida, portanto encontraremos a solução geral (com constante arbitrária).
- Observe que a função
e estão definidas para onde ; essa restrição será importante para a solução final (domínio onde a solução é válida).
Passo 2
Vamos colocar a equação numa forma padrão para poder aplicar o método do fator integrante. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
onde
é a incógnita,
e
são funções conhecidas de
. Aqui temos, ao reorganizar o enunciado,
Portanto identificamos
e
. O método do fator integrante diz: calcule um fator
definido por
Esse
tem a propriedade de tornar o lado esquerdo da equação numa derivada exata, ou seja
Passo 3
Calculemos o fator integrante
. Temos
Para integrar
lembramos que
e que a primitiva de
é
. Então
Aplicando a exponencial,
onde usamos que o quadrado elimina o sinal absoluto. Repare que esse fator só faz sentido (não-nulo) quando
, como observado no Passo 1.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Assim obtemos
O lado esquerdo é agora a derivada do produto
; explicitamente,
Vamos simplificar o lado direito: usamos a identidade
. Então
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
. Do lado esquerdo a integral de
é simplesmente
. Do lado direito precisamos calcular
Fazemos a substituição simples
. Então
. Substituindo:
Voltando a
, obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Isolamos
dividindo por
(lembrando a restrição
):
Simplificando os termos:
Podemos escrever a solução geral como
válida para valores de
tais que
. Aqui
é uma constante arbitrária real.