Resolva as equações diferenciais, pelo método do fator integrante:
\frac{d y}{d x}+2 y \cot x+\sin 2 x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d y}{d x}+2 y \cot x+\sin 2 x=0.
Informações relevantes que temos:
  • A incógnita é a função y=y(x).
  • A equação é uma equação diferencial de primeira ordem (só envolve y e y').
  • Não há condição inicial fornecida, portanto encontraremos a solução geral (com constante arbitrária).
  • Observe que a função \cot x e \sin 2x estão definidas para x onde \sin x\neq 0; essa restrição será importante para a solução final (domínio onde a solução é válida).

Passo 2

Vamos colocar a equação numa forma padrão para poder aplicar o método do fator integrante. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x),
onde y=y(x) é a incógnita, P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x. Aqui temos, ao reorganizar o enunciado,
\frac{d y}{d x}+2\cot x\; y = -\sin 2x.
Portanto identificamos P(x)=2\cot x e Q(x)=-\sin 2x. O método do fator integrante diz: calcule um fator \mu(x) definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int P(x)\,dx\Big).
Esse \mu(x) tem a propriedade de tornar o lado esquerdo da equação numa derivada exata, ou seja
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big)=\mu(x)\,Q(x).

Passo 3

Calculemos o fator integrante \mu(x). Temos
\mu(x)=\exp\!\Big(\int 2\cot x\,dx\Big).
Para integrar 2\cot x lembramos que \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e que a primitiva de \cot x é \ln|\sin x|. Então
\int 2\cot x\,dx = 2\ln|\sin x| .
Aplicando a exponencial,
\mu(x)=\exp\!\big(2\ln|\sin x|\big)=|\sin x|^2=\sin^2 x,
onde usamos que o quadrado elimina o sinal absoluto. Repare que esse fator só faz sentido (não-nulo) quando \sin x\neq 0, como observado no Passo 1.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=\sin^2 x. Assim obtemos
\sin^2 x\;\frac{d y}{d x}+2\sin^2 x\cot x\;y = -\sin^2 x\sin 2x.
O lado esquerdo é agora a derivada do produto \sin^2 x\;y; explicitamente,
\frac{d}{dx}\big(\sin^2 x\;y\big)= -\sin^2 x\sin 2x.
Vamos simplificar o lado direito: usamos a identidade \sin 2x=2\sin x\cos x. Então
-\sin^2 x\sin 2x = -\sin^2 x\cdot 2\sin x\cos x = -2\sin^3 x\cos x.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo a integral de \dfrac{d}{dx}(\sin^2 x\;y) é simplesmente \sin^2 x\;y. Do lado direito precisamos calcular
\int -2\sin^3 x\cos x\;dx.
Fazemos a substituição simples u=\sin x. Então du=\cos x\;dx. Substituindo:
\int -2\sin^3 x\cos x\;dx = \int -2 u^3\;du = -2\cdot\frac{u^4}{4} + C = -\frac{u^4}{2}+C.
Voltando a x, obtemos
\sin^2 x\;y = -\frac{\sin^4 x}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolamos y dividindo por \sin^2 x (lembrando a restrição \sin x\neq 0):
y = -\frac{\sin^4 x}{2\sin^2 x} + \frac{C}{\sin^2 x}.
Simplificando os termos:
y = -\frac{1}{2}\sin^2 x + C\csc^2 x.
Podemos escrever a solução geral como
y(x)=C\csc^2 x - \frac{1}{2}\sin^2 x,
válida para valores de x tais que \sin x\neq 0. Aqui C é uma constante arbitrária real.

Resposta

y(x)=C\csc^2 x-\frac{1}{2}\sin^2 x

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