119_ (ITA - 922 ) Considere o número complexo \mathrm{z}=\mathrm{a}+2 \mathrm{i} cujo argumento está no intervalo ( 0, \frac{\pi}{2} ). Sendo S o conjunto dos valores de a para os quais z^{6} é um número real, podemos afirmar que o produto dos elementos de S vale:
a) 4
b) \frac{4}{\sqrt{3}}
c) 8
d) \frac{8}{\sqrt{3}}

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \mathrm{z} = \mathrm{a} + 2\mathrm{i} e informa que o argumento de \mathrm{z} está no intervalo \left(0,\frac{\pi}{2}\right).
Pede-se: seja S o conjunto dos valores de a para os quais \mathrm{z}^{6} é um número real. Qual é o produto dos elementos de S?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\begin{aligned} &\mathrm{z} = \mathrm{a} + 2\mathrm{i},\\\ &\arg(\mathrm{z}) \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right) \quad\text{(logo a parte imaginária é positiva e a parte real também é positiva)},\\\ &S = \{\text{valores de } a \mid \mathrm{z}^{6} \in \mathbb{R}\}. \end{aligned}áééé

Passo 2

Conceito importante: se \mathrm{z} tem argumento \theta=\arg(\mathrm{z}), então o argumento de \mathrm{z}^{6} é 6\theta (regra do argumento para potências). Um número complexo é real quando seu argumento é congruente a 0 ou a \pi módulo 2\pi; em outras palavras exige-se
6\theta = k\pi
para algum inteiro k. Portanto
\theta = \frac{k\pi}{6}.
Como temos a condição \theta \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right), devemos escolher os inteiros k tais que
0 < \frac{k\pi}{6} < \frac{\pi}{2}.
Dividindo por \pi e multiplicando por 6 obtemos
0 < k < 3.
Os inteiros k que satisfazem são k=1 e k=2. Logo as possíveis medidas do argumento são
\theta_1 = \frac{\pi}{6},\qquad \theta_2 = \frac{\pi}{3}.

Passo 3

Vamos expressar \mathrm{z} em forma polar para relacionar a com \theta. Escrevemos
\mathrm{z} = r(\cos\theta + i\sin\theta),
onde r = |\mathrm{z}| é o módulo e \theta=\arg(\mathrm{z}). Das componentes de \mathrm{z} = a + 2i temos a parte imaginária 2 igual a r\sin\theta. Assim
r\sin\theta = 2 \quad\Rightarrow\quad r = \frac{2}{\sin\theta}.
A parte real a é r\cos\theta, portanto
a = r\cos\theta = \frac{2\cos\theta}{\sin\theta} = 2\cot\theta.
Aqui usamos a definição \cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}.

Passo 4

Agora calculamos a para cada \theta permitido.
Para \theta_1 = \dfrac{\pi}{6}:
\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2},\qquad \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
r = \frac{2}{\sin(\pi/6)} = \frac{2}{1/2} = 4,
e
a_1 = r\cos\frac{\pi}{6} = 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}.
Também por a=2\cot\theta teríamos a_1 = 2\cot(\pi/6)=2\sqrt{3}.
Para \theta_2 = \dfrac{\pi}{3}:
\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.
Logo
r = \frac{2}{\sin(\pi/3)} = \frac{2}{\sqrt{3}/2} = \frac{4}{\sqrt{3}},
e
a_2 = r\cos\frac{\pi}{3} = \frac{4}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}.
Ou por a=2\cot\theta teríamos a_2 = 2\cot(\pi/3)=\dfrac{2}{\sqrt{3}}.
Portanto o conjunto S é
S = \left\{2\sqrt{3},\;\frac{2}{\sqrt{3}}\right\}.

Passo 5

Calculamos o produto dos elementos de S:
\left(2\sqrt{3}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = 2\cdot 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 4.

Resposta

4

Exercícios relacionados