119_ (ITA - 922 ) Considere o número complexo
cujo argumento está no intervalo (
). Sendo
o conjunto dos valores de a para os quais
é um número real, podemos afirmar que o produto dos elementos de
vale:
a) 4
b)
c) 8
d)
a) 4
b)
c) 8
d)
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e informa que o argumento de
está no intervalo
.
Pede-se: seja o conjunto dos valores de
para os quais
é um número real. Qual é o produto dos elementos de
?
Pede-se: seja
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Conceito importante: se
tem argumento
, então o argumento de
é
(regra do argumento para potências). Um número complexo é real quando seu argumento é congruente a
ou a
módulo
; em outras palavras exige-se
para algum inteiro
. Portanto
Como temos a condição
, devemos escolher os inteiros
tais que
Dividindo por
e multiplicando por 6 obtemos
Os inteiros
que satisfazem são
e
. Logo as possíveis medidas do argumento são
Passo 3
Vamos expressar
em forma polar para relacionar
com
. Escrevemos
onde
é o módulo e
. Das componentes de
temos a parte imaginária
igual a
. Assim
A parte real
é
, portanto
Aqui usamos a definição
.
Passo 4
Agora calculamos
para cada
permitido.
Para
:
Logo
e
Também por
teríamos
.
Para
:
Logo
e
Ou por
teríamos
.
Portanto o conjunto
é
Passo 5
Calculamos o produto dos elementos de
:
Resposta
4