Resolva as equações diferenciais ordinárias e PVI’s de 1 \underline{a} ordem.
5 y^{\prime}+3 y=e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
5\,y^{\prime}+3\,y=e^{x}.
O que se pede: encontrar a solução geral da equação (não foi fornecido nenhum PVI/condição inicial, então a resposta será uma família de soluções com constante arbitrária). Informações relevantes dadas:
  • coeficiente de y^{\prime} é 5;
  • coeficiente de y é 3;
  • termo fonte (lado direito) é e^{x}.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear de 1ª ordem dividindo por 5:
y^{\prime}+\frac{3}{5}\,y=\frac{1}{5}e^{x}.
Explicação curta: colocar na forma y'+P(x)y=Q(x) facilita o uso do fator integrante e outras técnicas padrão.

Passo 3

Vamos usar o método do fator integrante. Identificamos
P(x)=\frac{3}{5},\qquad Q(x)=\frac{1}{5}e^{x}.
O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int \frac{3}{5}\,dx\right)=e^{\frac{3}{5}x}.
Motivo: multiplicando a equação padrão por \mu(x) o lado esquerdo passa a ser a derivada do produto \mu(x)\,y(x), porque
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu y^{\prime}+\mu' y
e \mu'=\mu P.

Passo 4

Multiplicando a equação por \mu(x)=e^{\frac{3}{5}x} obtemos
e^{\frac{3}{5}x}\,y^{\prime}+\frac{3}{5}e^{\frac{3}{5}x}\,y=\frac{1}{5}e^{\frac{3}{5}x}e^{x}.
Pela propriedade do fator integrante o lado esquerdo é a derivada
\frac{d}{dx}\!\left(e^{\frac{3}{5}x}y\right)=\frac{1}{5}e^{\left(\frac{3}{5}+1\right)x}=\frac{1}{5}e^{\frac{8}{5}x}.
Observe que e^{\frac{3}{5}x}e^{x}=e^{\frac{8}{5}x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
\int \frac{d}{dx}\!\left(e^{\frac{3}{5}x}y\right)\,dx=\int \frac{1}{5}e^{\frac{8}{5}x}\,dx.
A integral do lado esquerdo é simplesmente e^{\frac{3}{5}x}y. Para a direita, usar \int e^{a x}\,dx=\tfrac{1}{a}e^{a x}:
\int \frac{1}{5}e^{\frac{8}{5}x}\,dx=\frac{1}{5}\cdot\frac{1}{\frac{8}{5}}\,e^{\frac{8}{5}x}+C=\frac{1}{8}e^{\frac{8}{5}x}+C,
onde C é constante arbitrária de integração.

Passo 6

Temos então
e^{\frac{3}{5}x}y=\frac{1}{8}e^{\frac{8}{5}x}+C.
Isolando y e simplificando o expoente:
y=e^{-\frac{3}{5}x}\left(\frac{1}{8}e^{\frac{8}{5}x}+C\right)=\frac{1}{8}e^{\left(\frac{8}{5}-\frac{3}{5}\right)x}+C e^{-\frac{3}{5}x}=\frac{1}{8}e^{x}+C e^{-\frac{3}{5}x}.
Portanto a solução geral é essa família com constante arbitrária C.

Passo 7

Verificação rápida (método alternativo, útil na prova): resolver a homogênea e buscar uma particular por coeficientes a determinar.
  • Equação homogênea: y_h'+\tfrac{3}{5}y_h=0 tem solução y_h=C e^{-\frac{3}{5}x}.
  • Procurar y_p=A e^{x} (porque o termo forçante é e^{x} e x\mapsto e^{x} não pertence às soluções da homogênea). Substituindo:
5(A e^{x})'+3(A e^{x})=5 A e^{x}+3 A e^{x}=8 A e^{x}\overset{!}{=}e^{x},
logo 8A=1 e A=\tfrac{1}{8}. Assim y_p=\tfrac{1}{8}e^{x}. Somando homogênea + particular recupera
y=\frac{1}{8}e^{x}+C e^{-\frac{3}{5}x},
mesma resposta — bom sinal.

Resposta

y(x)=\frac{1}{8}e^{x}+C\,e^{-\frac{3}{5}x}

Exercícios relacionados