Resolva as equações diferenciais ordinárias e PVI’s de
ordem.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
O que se pede: encontrar a solução geral da equação (não foi fornecido nenhum PVI/condição inicial, então a resposta será uma família de soluções com constante arbitrária). Informações relevantes dadas:
- coeficiente de
é ; - coeficiente de
é ; - termo fonte (lado direito) é
.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma EDO linear de 1ª ordem dividindo por
:
Explicação curta: colocar na forma
facilita o uso do fator integrante e outras técnicas padrão.
Passo 3
Vamos usar o método do fator integrante. Identificamos
O fator integrante é
Motivo: multiplicando a equação padrão por
o lado esquerdo passa a ser a derivada do produto
, porque
e
.
Passo 4
Multiplicando a equação por
obtemos
Pela propriedade do fator integrante o lado esquerdo é a derivada
Observe que
.
Passo 5
Integramos ambos os lados em
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. Para a direita, usar
:
onde
é constante arbitrária de integração.
Passo 6
Temos então
Isolando
e simplificando o expoente:
Portanto a solução geral é essa família com constante arbitrária
.
Passo 7
Verificação rápida (método alternativo, útil na prova): resolver a homogênea e buscar uma particular por coeficientes a determinar.
- Equação homogênea:
tem solução . - Procurar
(porque o termo forçante é e não pertence às soluções da homogênea). Substituindo:
logo
e
. Assim
. Somando homogênea + particular recupera
mesma resposta — bom sinal.