Resolva as equações diferenciais ordinárias de 1 \underline{\mathrm{a}} ordem.
\left(y^{2}+10\right) d x+(2 x y+y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede que se resolva a equação diferencial de primeira ordem
\left(y^{2}+10\right)d x+(2 x y+y)d y=0.
Informações fornecidas:
  • A equação está dada na forma diferencial M(x,y)\,d x+N(x,y)\,d y=0.
  • Os coeficientes são M(x,y)=y^{2}+10 e N(x,y)=2xy+y.
    O objetivo é encontrar a solução geral (familia de curvas) que satisfaz essa equação diferencial.

Passo 2

Vou testar se a forma é exata. Primeira coisa: lembrar o que significa exata.
  • Dizemos que M(x,y)\,d x+N(x,y)\,d y é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que d\Phi=M\,d x+N\,d y.
  • Isso implica as condições parciais \Phi_x=M e \Phi_y=N.
  • Uma condição prática: se M e N têm derivadas parciais contínuas, então a forma é exata quando
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}+10\big)=2y,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2xy+y\big)=2y.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=2y, a forma é exata. Isso significa que existe \Phi(x,y) com \Phi_x=M e \Phi_y=N, e a solução geral será \Phi(x,y)=C para constante C.

Passo 3

Agora vamos construir a função potencial \Phi(x,y). Começo integrando M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi_x=M=y^{2}+10.
Integrando em x:
\Phi(x,y)=\int (y^{2}+10)\,dx = x(y^{2}+10)+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (porque ao integrar em x podemos perder termos que dependem só de y). Escrevendo explicitamente:
\Phi(x,y)=x y^{2}+10x+h(y).

Passo 4

Agora impor a outra condição \Phi_y=N. Calcule \Phi_y a partir da expressão encontrada:
\Phi_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{2}+10x+h(y)\big)=2xy+h'(y).
Devemos ter \Phi_y=N=2xy+y. Igualando:
2xy+h'(y)=2xy+y \quad\Rightarrow\quad h'(y)=y.
Integramos h'(y) em relação a y:
h(y)=\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2}+C_0,
onde C_0 é constante. Essa constante pode ser absorvida na constante final da solução implícita, então podemos tomar h(y)=\dfrac{y^{2}}{2} sem perda de generalidade.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Phi(x,y) obtemos a função potencial completa:
\Phi(x,y)=x y^{2}+10x+\frac{y^{2}}{2}.
A solução geral da equação diferencial é a família de curvas implícitas
\Phi(x,y)=C,
ou seja,
x y^{2}+10x+\frac{y^{2}}{2}=C,
onde C é constante arbitrária. Opcionalmente, pode-se isolar y^{2}:
y^{2}\,\big(2x+1\big)=2\big(C-10x\big)\quad\Rightarrow\quad y^{2}=\frac{2\big(C-10x\big)}{2x+1},
válida quando 2x+1\neq0. Sempre importante observar o domínio onde a solução explícita faz sentido.

Passo 6

Verificação rápida (como checar na prova): derivar implicitamente \Phi(x,y)=C:
\Phi_x+ \Phi_y\,\frac{dy}{dx}=0 \;\Rightarrow\; (y^{2}+10)+(2xy+y)\frac{dy}{dx}=0,
que recobra exatamente a equação dada, confirmando a solução. Força aí — resolve essa questão na prova mostrando que a forma é exata e construindo \Phi como fizemos.

Resposta

x y^{2}+10x+\frac{y^{2}}{2}=C

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