Resolva as equações diferenciais ordinárias de
ordem.
Passo 1
O enunciado pede que se resolva a equação diferencial de primeira ordem
Informações fornecidas:
- A equação está dada na forma diferencial
. - Os coeficientes são
e .
O objetivo é encontrar a solução geral (familia de curvas) que satisfaz essa equação diferencial.
Passo 2
Vou testar se a forma é exata. Primeira coisa: lembrar o que significa exata.
- Dizemos que
é exata se existe uma função tal que . - Isso implica as condições parciais
e . - Uma condição prática: se
e têm derivadas parciais contínuas, então a forma é exata quando
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a forma é exata. Isso significa que existe
com
e
, e a solução geral será
para constante
.
Passo 3
Agora vamos construir a função potencial
. Começo integrando
em relação a
, tratando
como constante:
Integrando em
:
onde
é uma função arbitrária de
(porque ao integrar em
podemos perder termos que dependem só de
). Escrevendo explicitamente:
Passo 4
Agora impor a outra condição
. Calcule
a partir da expressão encontrada:
Devemos ter
. Igualando:
Integramos
em relação a
:
onde
é constante. Essa constante pode ser absorvida na constante final da solução implícita, então podemos tomar
sem perda de generalidade.
Passo 5
Substituindo
em
obtemos a função potencial completa:
A solução geral da equação diferencial é a família de curvas implícitas
ou seja,
onde
é constante arbitrária. Opcionalmente, pode-se isolar
:
válida quando
. Sempre importante observar o domínio onde a solução explícita faz sentido.
Passo 6
Verificação rápida (como checar na prova): derivar implicitamente
:
que recobra exatamente a equação dada, confirmando a solução. Força aí — resolve essa questão na prova mostrando que a forma é exata e construindo
como fizemos.