Resolva as equações diferenciais ordinárias de 1 \underline{\mathrm{a}} ordem.
(5 y-x)+\left(5 x+2 y^{2}\right) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de 1ª ordem
(5y - x) + (5x + 2y^{2})\,y' = 0,
e pede que se resolva essa equação, isto é, que se encontre a família de soluções gerais (com constante de integração). Informações relevantes fornecidas:
  • A equação está escrita na forma M(x,y) + N(x,y)\,y' = 0.
  • As funções presentes são 5y-x e 5x+2y^{2}.
    A partir daqui começamos a resolver.

Passo 2

Transformar a equação para a forma diferencial total conveniente: escrever como forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0,
onde identificamos
M(x,y)=5y-x,\qquad N(x,y)=5x+2y^{2}.
Isto porque a equação original é equivalente a (5y-x)\,dx + (5x+2y^{2})\,dy=0 (dividir por dx e lembrar y' = \dfrac{dy}{dx}).

Passo 3

Testar se a forma é exata. Uma forma M\,dx+N\,dy é exata se existe uma função \Phi(x,y) tal que \partial\Phi/\partial x = M e \partial\Phi/\partial y = N. Um teste simples: calcular as derivadas parciais cruzadas
\frac{\partial M}{\partial y} \quad\text{e}\quad \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(5y-x)=5, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(5x+2y^{2})=5.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=5, a forma é exata em qualquer região onde as funções são contínuas (aqui são polinomiais), logo existe \Phi(x,y) tal que \,d\Phi = M\,dx+N\,dy.

Passo 4

Proceder a encontrar a potencial \Phi(x,y). Começo integrando M(x,y) em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int (5y-x)\,dx.
Calcule a integral:
\int (5y-x)\,dx = 5y\int dx - \int x\,dx = 5y\,x - \frac{x^{2}}{2} + h(y),
onde h(y) é uma função “constante” de integração em relação a x (pode depender de y).

Passo 5

Determinar h(y) usando a condição \partial\Phi/\partial y = N(x,y). Diferencie \Phi(x,y) obtida em relação a y:
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=5x + h'(y).
Essa derivada deve coincidir com N(x,y)=5x+2y^{2}. Igualando:
5x + h'(y)=5x+2y^{2} \quad\Rightarrow\quad h'(y)=2y^{2}.
Agora integramos h'(y) em relação a y:
h(y)=\int 2y^{2}\,dy = \frac{2}{3}y^{3} + C_{0},
onde C_{0} é uma constante. (Podemos absorver C_{0} na constante final da solução implícita.)

Passo 6

Escrever a função potencial completa \Phi(x,y) substituindo h(y):
\Phi(x,y)=5xy - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2}{3}y^{3} + C_{0}.
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
\Phi(x,y)=C,
onde C é constante arbitrária. Podemos eliminar C_{0} e usar uma única constante C.

Passo 7

Apresentar a solução implícita final e comentar rapidamente sobre forma explícita. A solução implícita é
-\frac{1}{2}x^{2} + 5xy + \frac{2}{3}y^{3} = C,
onde C é uma constante real. Resolver explicitamente para y em termos de x exigiria resolver uma equação cúbica em y e normalmente não é necessário nem prático — a forma implícita é a forma padrão de apresentação da solução aqui. Por segurança, pode-se verificar diferenciando implicitamente a expressão acima e obtendo a equação original.

Resposta

-\dfrac{1}{2}x^{2}+5xy+\dfrac{2}{3}y^{3}=C

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