Resolva as equações diferenciais ordinárias de
ordem.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de 1ª ordem
e pede que se resolva essa equação, isto é, que se encontre a família de soluções gerais (com constante de integração). Informações relevantes fornecidas:
- A equação está escrita na forma
. - As funções presentes são
e .
A partir daqui começamos a resolver.
Passo 2
Transformar a equação para a forma diferencial total conveniente: escrever como forma diferencial
onde identificamos
Isto porque a equação original é equivalente a
(dividir por
e lembrar
).
Passo 3
Testar se a forma é exata. Uma forma
é exata se existe uma função
tal que
e
. Um teste simples: calcular as derivadas parciais cruzadas
Calculemos:
Como
, a forma é exata em qualquer região onde as funções são contínuas (aqui são polinomiais), logo existe
tal que
.
Passo 4
Proceder a encontrar a potencial
. Começo integrando
em relação a
, tratando
como constante:
Calcule a integral:
onde
é uma função “constante” de integração em relação a
(pode depender de
).
Passo 5
Determinar
usando a condição
. Diferencie
obtida em relação a
:
Essa derivada deve coincidir com
. Igualando:
Agora integramos
em relação a
:
onde
é uma constante. (Podemos absorver
na constante final da solução implícita.)
Passo 6
Escrever a função potencial completa
substituindo
:
A solução geral da equação diferencial exata é dada implicitamente por
onde
é constante arbitrária. Podemos eliminar
e usar uma única constante
.
Passo 7
Apresentar a solução implícita final e comentar rapidamente sobre forma explícita. A solução implícita é
onde
é uma constante real. Resolver explicitamente para
em termos de
exigiria resolver uma equação cúbica em
e normalmente não é necessário nem prático — a forma implícita é a forma padrão de apresentação da solução aqui. Por segurança, pode-se verificar diferenciando implicitamente a expressão acima e obtendo a equação original.