Resolva as equações diferenciais ordinárias e PVI’s de 1 \underline{a} ordem.
y^{\prime}+x^{2} y-x^{2}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y'(x)+x^{2}y(x)-x^{2}=0.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) (não foi fornecido nenhum PVI/condição inicial). Lista das informações relevantes fornecidas:
  • A equação é do tipo com termo y', coeficiente de y igual a x^{2} e termo não homogêneo igual a x^{2}.
  • Não há condição inicial nem intervalo especificado.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
y'(x)+p(x)\,y(x)=q(x),
identificando
p(x)=x^{2},\qquad q(x)=x^{2}.
Explicando: nessa forma, p(x) é a função que multiplica y e q(x) é o termo forçante (não homogêneo). A técnica padrão para resolver é o fator integrante.

Passo 3

Apresentar e explicar o método do fator integrante (didático):
  • Para a equação y'+p(x)y=q(x), define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
  • Propriedade útil: \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y(x)\big)=\mu(x)y'(x)+\mu'(x)y(x). Como \mu'(x)=p(x)\mu(x), tem-se \dfrac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\big(y'+p(x)y\big).
  • Portanto, multiplicando a equação original por \mu(x) transforma o lado esquerdo em derivada exata: \dfrac{d}{dx}(\mu y)=\mu q. Depois é só integrar ambos os lados.

Passo 4

Calcular o fator integrante para o nosso caso:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int x^{2}\,dx\Big)=\exp\!\Big(\frac{x^{3}}{3}\Big)=e^{x^{3}/3}.
Explanação: integrou-se p(x)=x^{2} e elevou-se e ao resultado; a constante de integração no expoente pode ser absorvida como fator multiplicativo em \mu e não altera a construção (por isso escolhemos a forma acima).

Passo 5

Multiplicar a equação original por \mu(x). A equação original é
y'+x^{2}y=x^{2}.
Multiplicando por \mu
\mu y'+\mu x^{2}y=\mu x^{2}.
Pelo passo 3, o lado esquerdo é a derivada de \mu y, isto é:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y(x)\big)=\mu(x)\,x^{2}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em x:
\int \frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y(x)\big)\,dx=\int \mu(x)\,x^{2}\,dx.
O lado esquerdo integra diretamente para \mu(x)\,y(x). No lado direito substituímos \mu(x)=e^{x^{3}/3} e calculamos a integral
\int e^{x^{3}/3}\,x^{2}\,dx.
Fazer a substituição u=\dfrac{x^{3}}{3}. Então du=x^{2}\,dx. Assim
\int e^{x^{3}/3}\,x^{2}\,dx=\int e^{u}\,du=e^{u}+C=e^{x^{3}/3}+C.

Passo 7

Portanto obtemos
\mu(x)\,y(x)=e^{x^{3}/3}+C,
ou seja
e^{x^{3}/3}\,y(x)=e^{x^{3}/3}+C.
Isolando y(x):
y(x)=1+C\,e^{-x^{3}/3}.
Explicação do resultado: C é a constante arbitrária que aparece da integração. A solução geral é a família de funções acima. Em particular, pode-se escolher C de acordo com qualquer condição inicial que fosse dada.

Passo 8

Verificação rápida (confirmação): derivando y(x)=1+C e^{-x^{3}/3},
y'(x)=C\cdot\big(-e^{-x^{3}/3}\big)\cdot\frac{d}{dx}\!\Big(\frac{x^{3}}{3}\Big)=C\big(-e^{-x^{3}/3}\big)\,x^{2}=-C x^{2}e^{-x^{3}/3}.
Substituindo em y'+x^{2}y:
y'+x^{2}y=-C x^{2}e^{-x^{3}/3}+x^{2}\big(1+C e^{-x^{3}/3}\big)=x^{2},
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a equação.

Resposta

y(x)=1+C\,e^{-x^{3}/3}

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