Resolva as equações diferenciais ordinárias e PVI’s de
ordem.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
O que se pede: encontrar a solução geral
(não foi fornecido nenhum PVI/condição inicial). Lista das informações relevantes fornecidas:
- A equação é do tipo com termo
, coeficiente de igual a e termo não homogêneo igual a . - Não há condição inicial nem intervalo especificado.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
identificando
Explicando: nessa forma,
é a função que multiplica
e
é o termo forçante (não homogêneo). A técnica padrão para resolver é o fator integrante.
Passo 3
Apresentar e explicar o método do fator integrante (didático):
- Para a equação
, define-se o fator integrante
- Propriedade útil:
. Como , tem-se . - Portanto, multiplicando a equação original por
transforma o lado esquerdo em derivada exata: . Depois é só integrar ambos os lados.
Passo 4
Calcular o fator integrante para o nosso caso:
Explanação: integrou-se
e elevou-se
ao resultado; a constante de integração no expoente pode ser absorvida como fator multiplicativo em
e não altera a construção (por isso escolhemos a forma acima).
Passo 5
Multiplicar a equação original por
. A equação original é
Multiplicando por
dá
Pelo passo 3, o lado esquerdo é a derivada de
, isto é:
Passo 6
Integrar ambos os lados em
:
O lado esquerdo integra diretamente para
. No lado direito substituímos
e calculamos a integral
Fazer a substituição
. Então
. Assim
Passo 7
Portanto obtemos
ou seja
Isolando
:
Explicação do resultado:
é a constante arbitrária que aparece da integração. A solução geral é a família de funções acima. Em particular, pode-se escolher
de acordo com qualquer condição inicial que fosse dada.
Passo 8
Verificação rápida (confirmação): derivando
,
Substituindo em
:
o que confirma que a solução encontrada satisfaz a equação.