Resolva as equações diferenciais ordinárias e PVI’s de
ordem.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem com condição inicial:
O que se pede é encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial em todos os
considerados e que, além disso, verifique a condição inicial
.
Passo 2
Vou usar o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem. Primeiro, reescrevo a equação na forma padrão
onde, neste caso,
e
.
O fator integrante
é definido por
Aqui
, então
Explicando rapidamente o porquê: multiplicando a equação original por
transformamos o lado esquerdo em uma derivada de produto, o que facilita a integração.
Passo 3
Multiplico a equação por
:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, ou seja,
Passo 4
Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Agora preciso calcular a integral
. Faço isso por partes duas vezes:
Seja
.
- Aplicando integração por partes com
e , então e . Assim
Chamo
. Então
.
- Calculo
por partes com e , então e . Assim
Substituo
em
:
Portanto
e assim
onde
é constante que já pode ser absorvida na constante geral
que apareceu antes.
Passo 5
Voltando para a expressão de
, obtemos
Dividindo por
(que nunca é zero):
Esta é a solução geral da equação diferencial, com
constante arbitrária.
Passo 6
Agora uso a condição inicial
para encontrar
. Avaliando em
:
Como
, segue
Passo 7
Substituo
na solução geral para obter a solução particular do problema de valor inicial:
Posso escrever de forma compacta:
Passo 8
Verificação rápida (para aumentar a confiança): calculo
a partir da solução encontrada:
Somando
:
o que confirma que a solução satisfaz a equação diferencial. Também já usamos a condição inicial, então a solução é a única que satisfaz o PVI.