Resolva as equações diferenciais ordinárias e PVI’s de 1 \underline{a} ordem.
y^{\prime}+y=\cos (x), y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem com condição inicial:
y'+y=\cos(x),\qquad y(0)=1.
O que se pede é encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial em todos os x considerados e que, além disso, verifique a condição inicial y(0)=1.

Passo 2

Vou usar o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem. Primeiro, reescrevo a equação na forma padrão
y'+p(x)y=q(x),
onde, neste caso, p(x)=1 e q(x)=\cos(x).
O fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Aqui p(x)=1, então
\mu(x)=\exp\!\Big(\int 1\,dx\Big)=\exp(x)=e^{x}.
Explicando rapidamente o porquê: multiplicando a equação original por \mu(x) transformamos o lado esquerdo em uma derivada de produto, o que facilita a integração.

Passo 3

Multiplico a equação por \mu(x)=e^{x}:
e^{x}y' + e^{x}y = e^{x}\cos(x).
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{x}y, ou seja,
\bigl(e^{x}y\bigr)' = e^{x}\cos(x).

Passo 4

Integro ambos os lados em relação a x:
e^{x}y = \int e^{x}\cos(x)\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora preciso calcular a integral \displaystyle \int e^{x}\cos(x)\,dx. Faço isso por partes duas vezes:
Seja I=\int e^{x}\cos(x)\,dx.
  1. Aplicando integração por partes com u=\cos(x) e dv=e^{x}dx, então du=-\sin(x)dx e v=e^{x}. Assim
I = e^{x}\cos(x) + \int e^{x}\sin(x)\,dx.
Chamo J=\int e^{x}\sin(x)\,dx. Então I = e^{x}\cos(x) + J.
  1. Calculo J por partes com u=\sin(x) e dv=e^{x}dx, então du=\cos(x)dx e v=e^{x}. Assim
J = e^{x}\sin(x) - \int e^{x}\cos(x)\,dx = e^{x}\sin(x) - I.
Substituo J em I = e^{x}\cos(x) + J:
I = e^{x}\cos(x) + \bigl(e^{x}\sin(x) - I\bigr).
Portanto
2I = e^{x}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr)
e assim
I = \frac{1}{2}e^{x}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr) + C_1,
onde C_1 é constante que já pode ser absorvida na constante geral C que apareceu antes.

Passo 5

Voltando para a expressão de e^{x}y, obtemos
e^{x}y = \frac{1}{2}e^{x}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr) + C.
Dividindo por e^{x} (que nunca é zero):
y(x) = \frac{1}{2}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr) + C e^{-x}.
Esta é a solução geral da equação diferencial, com C constante arbitrária.

Passo 6

Agora uso a condição inicial y(0)=1 para encontrar C. Avaliando em x=0:
y(0)=\frac{1}{2}\bigl(\sin 0+\cos 0\bigr) + C e^{0} = \frac{1}{2}\bigl(0+1\bigr) + C = \frac{1}{2} + C.
Como y(0)=1, segue
1 = \frac{1}{2} + C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{2}.

Passo 7

Substituo C=\dfrac{1}{2} na solução geral para obter a solução particular do problema de valor inicial:
y(x)=\frac{1}{2}\bigl(\sin(x)+\cos(x)\bigr) + \frac{1}{2}e^{-x}.
Posso escrever de forma compacta:
y(x)=\frac{1}{2}\bigl(\sin(x)+\cos(x)+e^{-x}\bigr).

Passo 8

Verificação rápida (para aumentar a confiança): calculo y' a partir da solução encontrada:
y'(x)=\frac{1}{2}\bigl(\cos(x)-\sin(x)-e^{-x}\bigr).
Somando y'+y:
y'(x)+y(x)=\frac{1}{2}\bigl(\cos-\sin-e^{-x}+\sin+\cos+e^{-x}\bigr)=\cos(x),
o que confirma que a solução satisfaz a equação diferencial. Também já usamos a condição inicial, então a solução é a única que satisfaz o PVI.

Resposta

y(x)=\frac{1}{2}\bigl(\sin(x)+\cos(x)+e^{-x}\bigr)

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