Resolva as equações diferenciais ordinárias de
ordem lineares homogêneas.
$y^{\prime \prime}+4 y=0
$y^{\prime \prime}+4 y=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e homogênea. A equação fornecida é:
Informações dadas e o que se pede:
- É uma equação diferencial de ordem 2.
- É linear e homogênea (não há termo independente).
- Quer-se a solução geral
, ou seja, a família de todas as soluções dependentes de constantes arbitrárias.
Passo 2
Método escolhido (explicado passo a passo, sem pular etapas):
Uma técnica padrão e muito útil para equações lineares com coeficientes constantes é procurar soluções do tipo exponencial , porque derivadas de exponenciais trazem o mesmo tipo de função de volta, o que simplifica muito a equação. Vou mostrar por quê.
Uma técnica padrão e muito útil para equações lineares com coeficientes constantes é procurar soluções do tipo exponencial
Suponha uma solução da forma
. Então:
Substituindo em
obtemos:
Como
para todo
, podemos dividir por
e ficar com uma equação algébrica para
, chamada equação característica:
Passo 3
Resolver a equação característica:
Obtivemos duas raízes complexas conjugadas
e
.
Passo 4
Converter raízes complexas em solução real (a parte didática importante):
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas , a solução geral real da ODE é
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas
No nosso caso
e
, então
. Vou mostrar também a origem desta fórmula de forma concreta usando Euler.
Considere a solução complexa
. Pela fórmula de Euler,
As funções
e
aparecem como parte real e imaginária de
. Como a ODE é linear com coeficientes reais, as partes real e imaginária de qualquer solução complexa também são soluções reais. Portanto
e
são soluções independentes reais. Assim a solução geral real é combinação linear:
onde
e
são constantes reais arbitrárias.
Passo 5
Verificação rápida por substituição (para você aprender a checar na prova):
Tomemos
Tomemos
Calcule as derivadas:
Agora substituindo em
:
Confere: a expressão zera para todo
, logo é solução correta.
Passo 6
Como usar a solução na prática (se na prova der condições iniciais):
Se der, por exemplo, condições e
, substitui em
e em
para achar
e
.
Se der, por exemplo, condições
- Avaliando em
:
- Derivando e avaliando em
:
então
Assim a solução com essas condições seria
Isso é útil para transformar a solução geral em uma solução particular quando há condições iniciais.
Passo 7
Observação final e análogo geral (para memorizar):
A equação tem solução geral
A equação
No nosso exercício
, por isso o resultado acima. Isso aparece muito em oscilações harmônicas (sinta-se incentivado: é um padrão fácil de decorar).