Resolva as equações diferenciais ordinárias de 2 \underline{\underline{a}} ordem lineares homogêneas.
$y^{\prime \prime}+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem, linear e homogênea. A equação fornecida é:
y'' + 4y = 0.
Informações dadas e o que se pede:
  • É uma equação diferencial de ordem 2.
  • É linear e homogênea (não há termo independente).
  • Quer-se a solução geral y(x), ou seja, a família de todas as soluções dependentes de constantes arbitrárias.

Passo 2

Método escolhido (explicado passo a passo, sem pular etapas):
Uma técnica padrão e muito útil para equações lineares com coeficientes constantes é procurar soluções do tipo exponencial \,y(x)=e^{rx}\,, porque derivadas de exponenciais trazem o mesmo tipo de função de volta, o que simplifica muito a equação. Vou mostrar por quê.
Suponha uma solução da forma \,y(x)=e^{rx}. Então:
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^{2} e^{rx}.
Substituindo em \,y''+4y=0 obtemos:
r^{2} e^{rx} + 4 e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e ficar com uma equação algébrica para r, chamada equação característica:
r^{2}+4=0.

Passo 3

Resolver a equação característica:
r^{2}+4=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=-4 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 2\,i.
Obtivemos duas raízes complexas conjugadas r_{1}=2i e r_{2}=-2i.

Passo 4

Converter raízes complexas em solução real (a parte didática importante):
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas \alpha \pm \beta i, a solução geral real da ODE é
y(x)=C_{1}e^{\alpha x}\cos(\beta x) + C_{2}e^{\alpha x}\sin(\beta x).
No nosso caso \alpha=0 e \beta=2, então e^{\alpha x}=e^{0}=1. Vou mostrar também a origem desta fórmula de forma concreta usando Euler.
Considere a solução complexa e^{(2i)x}=e^{2ix}. Pela fórmula de Euler,
e^{2ix}=\cos(2x)+i\sin(2x).
As funções \cos(2x) e \sin(2x) aparecem como parte real e imaginária de e^{2ix}. Como a ODE é linear com coeficientes reais, as partes real e imaginária de qualquer solução complexa também são soluções reais. Portanto \cos(2x) e \sin(2x) são soluções independentes reais. Assim a solução geral real é combinação linear:
y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias.

Passo 5

Verificação rápida por substituição (para você aprender a checar na prova):
Tomemos
y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x).
Calcule as derivadas:
y'(x) = -2C_{1}\sin(2x) + 2C_{2}\cos(2x),
y''(x) = -4C_{1}\cos(2x) -4C_{2}\sin(2x) = -4\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big).
Agora substituindo em \,y''+4y:
y''+4y = -4\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big) + 4\big(C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)\big) = 0.
Confere: a expressão zera para todo x, logo é solução correta.

Passo 6

Como usar a solução na prática (se na prova der condições iniciais):
Se der, por exemplo, condições y(0)=y_{0} e y'(0)=y_{1}, substitui em y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x) e em y'(x) para achar C_{1} e C_{2}.
  • Avaliando em x=0:
y(0)=C_{1}\cos(0)+C_{2}\sin(0)=C_{1}=y_{0}.
  • Derivando e avaliando em x=0:
y'(x)=-2C_{1}\sin(2x)+2C_{2}\cos(2x)\quad\Rightarrow\quad y'(0)=2C_{2}=y_{1},
então
C_{1}=y_{0},\qquad C_{2}=\frac{y_{1}}{2}.
Assim a solução com essas condições seria
y(x)=y_{0}\cos(2x)+\frac{y_{1}}{2}\sin(2x).
Isso é útil para transformar a solução geral em uma solução particular quando há condições iniciais.

Passo 7

Observação final e análogo geral (para memorizar):
A equação \,y''+\omega^{2}y=0 tem solução geral
y(x)=C_{1}\cos(\omega x) + C_{2}\sin(\omega x).
No nosso exercício \omega=2, por isso o resultado acima. Isso aparece muito em oscilações harmônicas (sinta-se incentivado: é um padrão fácil de decorar).

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)

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