Resolva as equações diferenciais ordinárias e PVI’s de 1 \underline{a} ordem.
y y^{\prime}-x^{2}-4 x^{2} y^{3}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y\,y' - x^{2} - 4x^{2}y^{3}=0,
e pede resolver (achar a solução geral). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação envolve y, sua derivada y'=\dfrac{dy}{dx} e funções polinomiais de x e y.
  • Não há condição inicial fornecida (não é um PVI), portanto buscamos a solução geral com constante de integração.
  • A equação pode ser rearranjada para isolar dy/dx ou para buscar uma forma separável.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: reorganizar a equação para uma forma que permita separar variáveis ou integrar facilmente. Partindo de
y\,\frac{dy}{dx} - x^{2} - 4x^{2}y^{3}=0,
coloco os termos com x de um lado e os termos com y do outro. Uma forma conveniente é inverter a relação e tratar x como função de y. Para isso escrevo
y\,\frac{dy}{dx}=x^{2}(1+4y^{3}).
Invertendo a derivada (isto é, passando para dx/dy) obtenho
\frac{dx}{dy}=\frac{y}{x^{2}(1+4y^{3})}.
Multiplico ambos os lados por x^{2} e por dy para separar variáveis:
x^{2}\,dx=\frac{y}{1+4y^{3}}\,dy.
Agora a separação está feita: o lado esquerdo depende só de x e o direito só de y. Vou integrar ambos os lados.

Passo 3

Integração direta do lado esquerdo é simples:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C_{1}.
O desafio é a integral do lado direito
\int \frac{y}{1+4y^{3}}\,dy.
Para integrar isso de forma limpa, faço a substituição racional que costuma simplificar frações com potências: u=\dfrac{1}{y}. Vou explicar por que isso ajuda: com u=1/y temos y=1/u e dy=-\dfrac{du}{u^{2}}, então
\frac{y}{1+4y^{3}}\,dy = \frac{1/u}{1+4/u^{3}}\left(-\frac{du}{u^{2}}\right).
Simplificando a expressão obtemos (calcule passo a passo):
\frac{1/u}{1+4/u^{3}}\left(-\frac{du}{u^{2}}\right) = -\frac{1/u^{3}}{\dfrac{u^{3}+4}{u^{3}}}\,du = -\frac{du}{u^{3}+4}.
Logo a integral fica
\int \frac{y}{1+4y^{3}}\,dy = -\int \frac{du}{u^{3}+4}.
Esta transformação é a chave: a integral original reduziu-se a uma integral racional em u, \int \dfrac{du}{u^{3}+4}, para a qual podemos aplicar decomposição em frações parciais.

Passo 4

Agora resolvo
\int \frac{du}{u^{3}+4}.
Para frações racionais com denominador cúbico do tipo u^{3}+a^{3}\) usa-se a fatoração \[u^{3}+A^{3}=(u+A)(u^{2}-Au+A^{2}),
onde, neste caso, A=\sqrt[3]{4} (ou seja, A^{3}=4). Faço então a decomposição parcial
\frac{1}{u^{3}+4}=\frac{B}{u+A}+\frac{Cu+D}{u^{2}-Au+A^{2}}.
Multiplico ambos os lados por u^{3}+4=(u+A)(u^{2}-Au+A^{2}) e igualo coeficientes para encontrar B,C,D. Isso gera
1 = B(u^{2}-Au+A^{2}) + (Cu+D)(u+A).
Expandindo e agrupando coeficientes de u^{2},u,1 obtemos o sistema linear
\begin{cases} B + C = 0,\\[4pt] -BA + CA + D = 0,\\[4pt] BA^{2} + DA = 1. \end{cases}
Resolvo esse sistema passo a passo:
  • Da primeira equação C=-B\]. - Substituindo na segunda: \(-BA + (-B)A + D = -2BA + D = 0, logo D=2BA.
    - Substituindo D na terceira: BA^{2} + (2BA)A = 3BA^{2}=1, então
B=\frac{1}{3A^{2}}.
Com isso
C=-\frac{1}{3A^{2}},\qquad D=\frac{2}{3A}.]

Passo 5

Com os coeficientes determinados, a integral se escreve como soma de termos integráveis:
\int \frac{du}{u^{3}+4} = \int \left(\frac{B}{u+A} + \frac{Cu+D}{u^{2}-Au+A^{2}}\right)du.
Integro cada parcela:
  • \displaystyle \int \frac{B}{u+A}du = B\ln|u+A|.
  • Para \displaystyle \int \frac{Cu+D}{u^{2}-Au+A^{2}}du escrevo o numerador como combinação da derivada do denominador e de uma constante:
    a derivada de Q(u)=u^{2}-Au+A^{2} é Q'(u)=2u-A. Posso escrever Cu+D=\frac{C}{2}Q'(u)+\Big(D+\frac{CA}{2}\Big).Assim \int \frac{Cu+D}{Q(u)}du = \frac{C}{2}\ln Q(u) + \Big(D+\frac{CA}{2}\Big)\int\frac{du}{Q(u)}.
Calculo a combinação constante D+\dfrac{CA}{2} com os valores de C,D:
D+\frac{CA}{2}=\frac{2}{3A}+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{3A^{2}}\right)A=\frac{2}{3A}-\frac{1}{6A}=\frac{1}{2A}.
Portanto
\int \frac{Cu+D}{Q(u)}du=\frac{C}{2}\ln Q(u)+\frac{1}{2A}\int\frac{du}{u^{2}-Au+A^{2}}.
Para a última integral completa-se o quadrado:
u^{2}-Au+A^{2}=\left(u-\frac{A}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}A^{2},
logo
\int\frac{du}{u^{2}-Au+A^{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}A}\arctan\!\left(\frac{2u-A}{\sqrt{3}A}\right).
Juntando tudo e lembrando os valores B=\dfrac{1}{3A^{2}} e \dfrac{C}{2}=-\dfrac{1}{6A^{2}}, obtemos
\int \frac{du}{u^{3}+4} = \frac{1}{3A^{2}}\ln|u+A|-\frac{1}{6A^{2}}\ln\!\big(u^{2}-Au+A^{2}\big)+\frac{1}{A^{2}\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2u-A}{\sqrt{3}A}\right)+C_{2}.

Passo 6

Volto à integral original, lembrando do sinal negativo vindo de u=1/y:
\int \frac{y}{1+4y^{3}}\,dy = -\int \frac{du}{u^{3}+4}.
Substituindo a expressão encontrada para \int \dfrac{du}{u^{3}+4} e retirando o sinal negativo:
\int \frac{y}{1+4y^{3}}\,dy = -\frac{1}{3A^{2}}\ln|u+A|+\frac{1}{6A^{2}}\ln\!\big(u^{2}-Au+A^{2}\big)-\frac{1}{A^{2}\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2u-A}{\sqrt{3}A}\right)+C_{3}.
Lembrete: u=\dfrac{1}{y} e A=\sqrt[3]{4}.

Passo 7

Agora igualo as integrais das duas partes (lembrando que a integral da esquerda deu \dfrac{x^{3}}{3}):
\frac{x^{3}}{3} = -\frac{1}{3A^{2}}\ln\!\left|u+A\right|+\frac{1}{6A^{2}}\ln\!\big(u^{2}-Au+A^{2}\big)-\frac{1}{A^{2}\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2u-A}{\sqrt{3}A}\right)+C_{3}.
Multiplico toda a igualdade por 6A^{2} para simplificar os coeficientes:
2A^{2}x^{3} = -2\ln|u+A|+\ln\!\big(u^{2}-Au+A^{2}\big)-\frac{6}{\sqrt{3}}\arctan\!\left(\frac{2u-A}{\sqrt{3}A}\right)+C_{4}.
Note que \dfrac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}. Reescrevendo e recolhendo os termos logarítmicos em uma única função logarítmica:
\ln\!\left(\frac{u^{2}-Au+A^{2}}{(u+A)^{2}}\right) - 2\sqrt{3}\,\arctan\!\left(\frac{2u-A}{\sqrt{3}A}\right) - 2A^{2}x^{3} = C,
onde C é uma constante arbitrária (combinação das constantes anteriores). Finalmente volto à variável y usando u=1/y.

Resposta

\ln\!\left(\frac{\dfrac{1}{y^{2}}-\dfrac{A}{y}+A^{2}}{\big(\dfrac{1}{y}+A\big)^{2}}\right)-2\sqrt{3}\,\arctan\!\left(\frac{\dfrac{2}{y}-A}{\sqrt{3}A}\right)-2A^{2}x^{3}=C,
onde A=\sqrt[3]{4} e C é constante arbitrária.

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