Resolva as equações diferenciais ordinárias e PVI’s de 1 \underline{a} ordem. y y^{\prime}-x^{2}-4 x^{2} y^{3}=0
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
y\,y' - x^{2} - 4x^{2}y^{3}=0,
e pede resolver (achar a solução geral). Informações relevantes extraídas do enunciado:
A equação envolve y, sua derivada y'=\dfrac{dy}{dx} e funções polinomiais de x e y.
Não há condição inicial fornecida (não é um PVI), portanto buscamos a solução geral com constante de integração.
A equação pode ser rearranjada para isolar dy/dx ou para buscar uma forma separável.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: reorganizar a equação para uma forma que permita separar variáveis ou integrar facilmente. Partindo de
y\,\frac{dy}{dx} - x^{2} - 4x^{2}y^{3}=0,
coloco os termos com x de um lado e os termos com y do outro. Uma forma conveniente é inverter a relação e tratar x como função de y. Para isso escrevo
y\,\frac{dy}{dx}=x^{2}(1+4y^{3}).
Invertendo a derivada (isto é, passando para dx/dy) obtenho
\frac{dx}{dy}=\frac{y}{x^{2}(1+4y^{3})}.
Multiplico ambos os lados por x^{2} e por dy para separar variáveis:
x^{2}\,dx=\frac{y}{1+4y^{3}}\,dy.
Agora a separação está feita: o lado esquerdo depende só de x e o direito só de y. Vou integrar ambos os lados.
Passo 3
Integração direta do lado esquerdo é simples:
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C_{1}.
O desafio é a integral do lado direito
\int \frac{y}{1+4y^{3}}\,dy.
Para integrar isso de forma limpa, faço a substituição racional que costuma simplificar frações com potências: u=\dfrac{1}{y}. Vou explicar por que isso ajuda: com u=1/y temos y=1/u e dy=-\dfrac{du}{u^{2}}, então
Esta transformação é a chave: a integral original reduziu-se a uma integral racional em u, \int \dfrac{du}{u^{3}+4}, para a qual podemos aplicar decomposição em frações parciais.
Passo 4
Agora resolvo
\int \frac{du}{u^{3}+4}.
Para frações racionais com denominador cúbico do tipo u^{3}+a^{3}\) usa-se a fatoração
\[u^{3}+A^{3}=(u+A)(u^{2}-Au+A^{2}),
onde, neste caso, A=\sqrt[3]{4} (ou seja, A^{3}=4). Faço então a decomposição parcial
Multiplico ambos os lados por u^{3}+4=(u+A)(u^{2}-Au+A^{2}) e igualo coeficientes para encontrar B,C,D. Isso gera
1 = B(u^{2}-Au+A^{2}) + (Cu+D)(u+A).
Expandindo e agrupando coeficientes de u^{2},u,1 obtemos o sistema linear
\begin{cases} B + C = 0,\\[4pt] -BA + CA + D = 0,\\[4pt] BA^{2} + DA = 1. \end{cases}
Resolvo esse sistema passo a passo:
Da primeira equação C=-B\].
- Substituindo na segunda: \(-BA + (-B)A + D = -2BA + D = 0, logo D=2BA.
- Substituindo D na terceira: BA^{2} + (2BA)A = 3BA^{2}=1, então
B=\frac{1}{3A^{2}}.
Com isso
C=-\frac{1}{3A^{2}},\qquad D=\frac{2}{3A}.]
Passo 5
Com os coeficientes determinados, a integral se escreve como soma de termos integráveis:
Para \displaystyle \int \frac{Cu+D}{u^{2}-Au+A^{2}}du escrevo o numerador como combinação da derivada do denominador e de uma constante:
a derivada de Q(u)=u^{2}-Au+A^{2} é Q'(u)=2u-A. Posso escreverCu+D=\frac{C}{2}Q'(u)+\Big(D+\frac{CA}{2}\Big).Assim\int \frac{Cu+D}{Q(u)}du = \frac{C}{2}\ln Q(u) + \Big(D+\frac{CA}{2}\Big)\int\frac{du}{Q(u)}.
Calculo a combinação constante D+\dfrac{CA}{2} com os valores de C,D: