Resolva as equações diferenciais ordinárias de
ordem lineares homogêneas.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem linear homogênea sem coeficientes variáveis
Informações dadas:
- A equação diferencial é
. - Não há condições iniciais fornecidas (portanto pedimos a solução geral).
- A tarefa é encontrar a família de soluções
que satisfazem a equação acima.
Passo 2
Ideia do método (sem resolver ainda): procurar soluções da forma exponencial
.
Por quê? Porque derivadas de são múltiplas de
(isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
), o que simplifica muito o problema. Esta é a técnica padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes.
Por quê? Porque derivadas de
Passo 3
Assumindo
, calcule as derivadas necessárias:
Substituindo na equação diferencial:
Como
nunca é zero para qualquer
, pode-se dividir por
e obter a equação característica (uma equação polinomial em
):
Passo 4
Resolver a equação característica
. Procuramos fatores cujo produto é
e soma é
. Isso fatoriza assim:
Portanto as raízes são
Passo 5
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
e
, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes arbitrárias (determinar-se-iam se fossem fornecidas condições iniciais). Substituindo
e
obtemos
Passo 6
Verificação direta (vai ajudar na prova porque mostra o porquê funciona): calcule
para
:
Substituindo na equação diferencial:
Agrupando termos em
e
:
Portanto a solução é correta.
Passo 7
Observações finais úteis para a prova:
- Se fossem dadas condições iniciais
e , bastaria substituir em e e resolver o sistema linear para . - Se a equação característica tivesse raízes repetidas ou complexas, o formato da solução geral muda (por exemplo, raiz dupla
dá ; raízes complexas dão ). Mas neste exercício temos duas raízes reais distintas, então usamos a combinação linear de exponenciais.