Resolva as equações diferenciais ordinárias de 2 \underline{\underline{a}} ordem lineares homogêneas.
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de segunda ordem linear homogênea sem coeficientes variáveis
y'' - 4y' + 3y = 0.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é y'' - 4y' + 3y = 0.
  • Não há condições iniciais fornecidas (portanto pedimos a solução geral).
  • A tarefa é encontrar a família de soluções y(x) que satisfazem a equação acima.

Passo 2

Ideia do método (sem resolver ainda): procurar soluções da forma exponencial y(x)=e^{rx}.
Por quê? Porque derivadas de e^{rx} são múltiplas de e^{rx} (isso transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r), o que simplifica muito o problema. Esta é a técnica padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes.

Passo 3

Assumindo y(x)=e^{rx}, calcule as derivadas necessárias:
y'(x)=r e^{rx},\qquad y''(x)=r^{2} e^{rx}.
Substituindo na equação diferencial:
r^{2} e^{rx} - 4 r e^{rx} + 3 e^{rx} = 0.
Como e^{rx} nunca é zero para qualquer x, pode-se dividir por e^{rx} e obter a equação característica (uma equação polinomial em r):
r^{2} - 4r + 3 = 0.

Passo 4

Resolver a equação característica \,r^{2}-4r+3=0. Procuramos fatores cujo produto é 3 e soma é -4. Isso fatoriza assim:
r^{2}-4r+3=(r-1)(r-3)=0.
Portanto as raízes são
r_{1}=1,\qquad r_{2}=3.

Passo 5

Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral da equação diferencial homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(x)=C_{1} e^{r_{1}x} + C_{2} e^{r_{2}x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinar-se-iam se fossem fornecidas condições iniciais). Substituindo r_{1}=1 e r_{2}=3 obtemos
y(x)=C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3x}.

Passo 6

Verificação direta (vai ajudar na prova porque mostra o porquê funciona): calcule y',y'' para y(x)=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{3x}:
y'(x)=C_{1} e^{x} + 3 C_{2} e^{3x}, \qquad y''(x)=C_{1} e^{x} + 9 C_{2} e^{3x}.
Substituindo na equação diferencial:
y''-4y'+3y = \bigl(C_{1} e^{x} + 9 C_{2} e^{3x}\bigr) -4\bigl(C_{1} e^{x} + 3 C_{2} e^{3x}\bigr) +3\bigl(C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3x}\bigr).
Agrupando termos em e^{x} e e^{3x}:
= e^{x}\bigl(C_{1}-4C_{1}+3C_{1}\bigr) + e^{3x}\bigl(9C_{2}-12C_{2}+3C_{2}\bigr) = e^{x}\cdot 0 + e^{3x}\cdot 0 = 0.
Portanto a solução é correta.

Passo 7

Observações finais úteis para a prova:
  • Se fossem dadas condições iniciais y(x_{0})=y_{0} e y'(x_{0})=y_{0}', bastaria substituir x=x_{0} em y e y' e resolver o sistema linear para C_{1},C_{2}.
  • Se a equação característica tivesse raízes repetidas ou complexas, o formato da solução geral muda (por exemplo, raiz dupla r y=(C_{1}+C_{2}x)e^{rx}; raízes complexas a\pm bi dão e^{ax}(A\cos bx + B\sin bx)). Mas neste exercício temos duas raízes reais distintas, então usamos a combinação linear de exponenciais.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{3x}

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