Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
(2 x+sen y) d x+x cos y d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
com
M(x,y) = 2x + sin y, N(x,y) = xcos y
O conteúdo é de equações diferenciais exatas: vamos verificar se é exata (isto é, se partial M/partial y = partial N/partial x); como for exata, encontraremos uma função potencial phi(x,y) tal que dphi = M,dx + N,dy.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais
partial Mpartial y = partialpartial yl(2x + sin yr) = cos y,
partial Npartial x = partialpartial xl(xcos yr) = cos y
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata e admite uma função potencial phi(x,y).

Passo 3

Determinar phi(x,y) integrando M em relação a x:
phi(x,y) = integrall(2x + sin yr),dx = x^2 + xsin y + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Impor partial phi/partial y = N. Calculando
partial phipartial y = xcos y + h'(y)
e exigindo que isso seja igual a N(x,y)=xcos y
xcos y + h'(y) = xcos y Longrightarrow h'(y)=0 Longrightarrow h(y)=constante

Passo 5

Logo a função potencial é
phi(x,y)=x^2 + xsin y + C1
A solução geral da equação diferencial é dada por
phi(x,y)=C
onde C absorve C1.

Resposta

x^2 + xsin y = C

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