Calcular integral duplaR(8-x-y) d x d y, sendo R delimitada por x^2+y^2=1. Interpretar geometricamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR(8 - x - y),dx,dy
onde R é o disco de raio 1 centrado na origem, dado por x^2+y^2<=1.
O conteúdo é cálculo de integrais duplas em regiões planas, aproveitando simetrias ou coordenadas polares.

Passo 2

Separamos a integral em três partes linearmente:
integral duplaR(8 - x - y),dx,dy = integral duplaR8,dx,dy ;-;integral duplaRx,dx,dy ;-;integral duplaRy,dx,dy
Como R é simétrico em relação aos eixos x e y, os integrais de x e de y sobre R se anulam:
integral duplaRx,dx,dy = 0, integral duplaRy,dx,dy = 0

Passo 3

Fica então
integral duplaR(8 - x - y),dx,dy = integral duplaR8,dx,dy = 8 integral duplaR1,dx,dy
Mas integral duplaR1,dx,dy é simplesmente a área de R, que vale picdot1^2=pi.

Passo 4

Substituindo a área:
8 integral duplaR1,dx,dy = 8cdot pi = 8pi

Passo 5

Geometricamente, essa integral representa o volume do sólido abaixo da superfície
z = 8 - x - y
e acima do disco R no plano xy. O resultado 8pi é esse volume.

Resposta

8pi

Exercícios relacionados