Calcular
, sendo
delimitada por
. Interpretar geometricamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o disco de raio
centrado na origem, dado por
.
O conteúdo é cálculo de integrais duplas em regiões planas, aproveitando simetrias ou coordenadas polares.
O conteúdo é cálculo de integrais duplas em regiões planas, aproveitando simetrias ou coordenadas polares.
Passo 2
Separamos a integral em três partes linearmente:
Como
é simétrico em relação aos eixos
e
, os integrais de
e de
sobre
se anulam:
Passo 3
Fica então
Mas
é simplesmente a área de
, que vale
.
Passo 4
Substituindo a área:
Passo 5
Geometricamente, essa integral representa o volume do sólido abaixo da superfície
e acima do disco
no plano
. O resultado
é esse volume.