Mostre que a EDO é separável e encontre a solução.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial, que é uma EDO (Equação Diferencial Ordinária). A questão pede para mostrarmos que ela é separável e encontrar a solução. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma equação ser separável e como separar as variáveis
e
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos reconhecer que essa equação é separável, o que significa que podemos escrever a equação de forma que todos os termos envolvendo
fiquem de um lado e todos os termos envolvendo
fiquem do outro lado. Para fazer isso, vamos dividir ambos os lados por
:
Agora, as variáveis estão separadas: tudo em
está do lado esquerdo e tudo em
está do lado direito.
Passo 4
O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar em relação a
no lado esquerdo e em relação a
no lado direito:
Vamos resolver essas integrais uma por uma.
Passo 5
Integrando o lado esquerdo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Integrando o lado direito:
Também aqui,
é uma constante de integração, mas podemos considerar apenas uma constante geral para toda a equação.
Passo 7
Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Podemos reorganizar essa equação para resolver
em termos de
.
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por -1:
Podemos renomear
como uma nova constante, digamos
, pois
é uma constante arbitrária.
Passo 9
Agora, invertendo ambos os lados para resolver
:
Podemos simplificar a constante renomeando novamente
como
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real arbitrária.