Mostre que a EDO é separável e encontre a solução.
y^prime+y^2 sen(x)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial, que é uma EDO (Equação Diferencial Ordinária). A questão pede para mostrarmos que ela é separável e encontrar a solução. A equação que temos é:
y' + y^2 sin(x) = 0
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma equação ser separável e como separar as variáveis y e x para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar y' isolado:
y' = -y^2 sin(x)
Aqui, y' representa a derivada de y em relação a x , ou seja, dydx .

Passo 3

Agora, vamos reconhecer que essa equação é separável, o que significa que podemos escrever a equação de forma que todos os termos envolvendo y fiquem de um lado e todos os termos envolvendo x fiquem do outro lado. Para fazer isso, vamos dividir ambos os lados por y^2 :
dydx = -y^2 sin(x)
1y^2 dy = -sin(x) dx
Agora, as variáveis estão separadas: tudo em y está do lado esquerdo e tudo em x está do lado direito.

Passo 4

O próximo passo é integrar ambos os lados da equação. Vamos integrar em relação a y no lado esquerdo e em relação a x no lado direito:
integral 1y^2 dy = integral -sin(x) dx
Vamos resolver essas integrais uma por uma.

Passo 5

Integrando o lado esquerdo:
integral 1y^2 dy = integral y^-2 dy = y^-1-1 + C = -1y + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Integrando o lado direito:
integral -sin(x) dx = cos(x) + C
Também aqui, C é uma constante de integração, mas podemos considerar apenas uma constante geral para toda a equação.

Passo 7

Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
-1y = cos(x) + C
Podemos reorganizar essa equação para resolver y em termos de x .

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por -1:
1y = -cos(x) - C
Podemos renomear -C como uma nova constante, digamos C' , pois C é uma constante arbitrária.
1y = -cos(x) + C'

Passo 9

Agora, invertendo ambos os lados para resolver y :
y = 1- cos(x) + C'
Podemos simplificar a constante renomeando novamente C' como C :
y = 1C - cos(x)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = 1C - cos(x)
Onde C é uma constante real arbitrária.

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