Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral. Vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial.
Passo 2
Definimos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Por ser exata, existe uma função potencial
tal que
Integramos em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Para encontrar
, calculamos
e igualamos a
. Isso implica
Passo 5
A solução implícita geral vem de
Reagrupando a constante, obtemos a forma mais simples.
Resposta
onde
é constante arbitrária.