Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
A equação g(x) d y+(y+x) d x=0 tem h(x)=x como fator integrante. Determine todas as possíveis funções g.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
g(x)\,dy + (y + x)\,dx = 0
e informa que h(x)=x é um fator integrante. Queremos achar todas as funções g(x) tais que, ao multiplicar a equação por x, ela se torne exata.

Passo 2

Multiplicando a equação por x, obtemos
x\,g(x)\,dy + x\,(y + x)\,dx = 0.
Identificamos então as funções
M(x,y) = x\,(y + x) = xy + x^2, \quad N(x,y) = x\,g(x),
de modo que a equação fica na forma
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.

Passo 3

Para que a forma seja exata, precisamos que
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\;\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{dx}\bigl(x\,g(x)\bigr) = g(x) + x\,g'(x).
A condição de exatidão é
x = g(x) + x\,g'(x).

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial para g, escrevemos
x\,g'(x) + g(x) = x.
Isso é uma EDO linear de 1.º ordem. O fator integrante é \mu(x)=x, pois
\frac{d}{dx}\bigl(x\,g(x)\bigr) = x.
Integrando ambos os lados em relação a x:
x\,g(x) = \int x\,dx = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é constante de integração. Portanto
g(x) = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}.

Resposta

Todas as funções g que fazem de x um fator integrante são
g(x) = \frac{x}{2} + \frac{C}{x},
com C constante real.

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