Resolva os ítens abaixo sobre fatores integrantes:
A equação
tem
como fator integrante. Determine todas as possíveis funções
.
A equação
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e informa que
é um fator integrante. Queremos achar todas as funções
tais que, ao multiplicar a equação por
, ela se torne exata.
Passo 2
Multiplicando a equação por
, obtemos
Identificamos então as funções
de modo que a equação fica na forma
Passo 3
Para que a forma seja exata, precisamos que
Calculamos
A condição de exatidão é
Passo 4
Resolvendo a equação diferencial para
, escrevemos
Isso é uma EDO linear de 1.º ordem. O fator integrante é
, pois
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Portanto
Resposta
Todas as funções
que fazem de
um fator integrante são
com
constante real.