Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
e^{x+y^{2}} d x+2 y e^{x+y^{2}} d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e^{x+y^{2}}\,dx + 2y\,e^{x+y^{2}}\,dy = 0
e pede a solução geral. Vamos verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = e^{x+y^{2}}, \quad N(x,y) = 2y\,e^{x+y^{2}}.
Calculamos as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y} =2y\,e^{x+y^{2}}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} =2y\,e^{x+y^{2}}.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por ser exata, existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M(x,y) = e^{x+y^{2}}.
Integramos em relação a x:
\Psi(x,y) = \int e^{x+y^{2}}\,dx = e^{x+y^{2}} + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para encontrar h(y), calculamos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} =2y\,e^{x+y^{2}} + h'(y)
e igualamos a N(x,y)=2y\,e^{x+y^{2}}. Isso implica
h'(y)=0 \quad\Longrightarrow\quad h(y)=\text{constante}.

Passo 5

A solução implícita geral vem de
\Psi(x,y) = e^{x+y^{2}} + \text{constante} = \text{constante}.
Reagrupando a constante, obtemos a forma mais simples.

Resposta

e^{x+y^{2}} = C,
onde C é constante arbitrária.

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