Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
\left(x^{2}+y^{2}\right) d x+\left(x^{3}+3 x y^{2}+2 x y\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dx + \bigl(x^{3}+3xy^{2}+2xy\bigr)\,dy = 0.
Aqui o conteúdo é reconhecimento de equação exata e uso de fator integrante. Vamos chamar
M(x,y) = x^{2}+y^{2}, \quad N(x,y) = x^{3}+3x y^{2}+2x y.

Passo 2

Verificamos se é exata calculando
\frac{\partial M}{\partial y} = 2y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 3x^{2}+3y^{2}+2y.
Como 2y \neq 3x^{2}+3y^{2}+2y, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante que dependa só de y. Para isso usamos o teste
\frac{\displaystyle \frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{(3x^{2}+3y^{2}+2y) - 2y}{x^{2}+y^{2}} = \frac{3x^{2}+3y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =3,
que é constante. Logo existe \mu(y) tal que
\frac{d\mu}{dy} = 3\,\mu \quad\Longrightarrow\quad \mu(y) = e^{3y}.

Passo 4

Multiplicamos a equação por e^{3y}. Definimos
\widetilde M = e^{3y}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr), \qquad \widetilde N = e^{3y}\bigl(x^{3}+3x y^{2}+2x y\bigr).
Agora verificamos a exatidão:
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y} = e^{3y}\cdot3\,(x^{2}+y^{2}) + e^{3y}\cdot2xy = e^{3y}\bigl(x^{3}+3x y^{2}+2xy\bigr) = \frac{\partial \widetilde N}{\partial x},
logo a equação \widetilde M\,dx + \widetilde N\,dy=0 é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial \varphi(x,y) com
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = \widetilde M = e^{3y}(x^{2}+y^{2}).
Integramos em x:
\varphi(x,y) = \int e^{3y}(x^{2}+y^{2})\,dx = e^{3y}\Bigl(\tfrac{x^{3}}{3}+x y^{2}\Bigr) + h(y).
Agora exigimos \partial\varphi/\partial y = \widetilde N:
\frac{\partial\varphi}{\partial y} = e^{3y}\cdot3\Bigl(\tfrac{x^{3}}{3}+x y^{2}\Bigr) + e^{3y}\cdot2xy + h'(y) = e^{3y}(x^{3}+3x y^{2}+2xy) + h'(y).
Como isso deve igualar \widetilde N, vem h'(y)=0, isto é, h é constante.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
e^{3y}\Bigl(\tfrac{x^{3}}{3} + x y^{2}\Bigr) = C,
onde C é constante de integração.

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