Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, verificando se elas são ou não são exatas:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
Aqui o conteúdo é reconhecimento de equação exata e uso de fator integrante. Vamos chamar
Passo 2
Verificamos se é exata calculando
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante que dependa só de
. Para isso usamos o teste
que é constante. Logo existe
tal que
Passo 4
Multiplicamos a equação por
. Definimos
Agora verificamos a exatidão:
logo a equação
é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
com
Integramos em
:
Agora exigimos
:
Como isso deve igualar
, vem
, isto é,
é constante.
Resposta
A solução geral é dada implicitamente por
onde
é constante de integração.