Resolva as equações diferenciais redutíveis a homogêneas:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem redutível a homogênea
O conteúdo é método de equações redutíveis a homogêneas, em que procuramos uma combinação linear de e que torne a equação homogênea. Aqui veremos que tudo depende de .
Passo 2
Escrevendo na forma
temos
Repare que e aparecem sempre na combinação , salvo o “”. Isso sugere a substituição
Passo 3
Definindo
diferenciamos em relação a :
Passo 4
Reescrevendo a ODE em termos de :
Substituindo :
Multiplicando por 2 e reorganizando, chega-se a
Passo 5
A equação em é separável:
Passo 6
Integramos ambos os lados:
Fazendo a divisão
temos
Passo 7
Voltando a x e y com u = x + 2y, obtemos a solução implícita geral: