Resolva as equações diferenciais redutíveis a homogêneas:
(x+2 y-1)+(3 x+6 y) y^prime=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem redutível a homogênea
(x + 2y - 1) ;+;(3x + 6y),y' ;=;0
O conteúdo é método de equações redutíveis a homogêneas, em que procuramos uma combinação linear de x e y que torne a equação homogênea. Aqui veremos que tudo depende de u = x + 2y.

Passo 2

Escrevendo na forma
M(x,y) + N(x,y),y' = 0,
temos
M(x,y) = x + 2y - 1, N(x,y) = 3x + 6y = 3,(x + 2y)
Repare que M e N aparecem sempre na combinação x+2y, salvo o “ -1”. Isso sugere a substituição
u = x + 2y

Passo 3

Definindo
u = x + 2y,
diferenciamos em relação a x:
dudx = 1 + 2,dydx Longrightarrow y' = du/dx - 12

Passo 4

Reescrevendo a ODE em termos de u:
(u - 1) + 3u,y' = 0
Substituindo y':
(u - 1) ;+;3u;tfracdudx-12 = 0
Multiplicando por 2 e reorganizando, chega-se a
dudx = u + 23u

Passo 5

A equação em u é separável:
dudx = u+23u Longrightarrow 3uu+2,du = dx

Passo 6

Integramos ambos os lados:
integral 3uu+2,du = integral dx
Fazendo a divisão
3uu+2 = 3 - 6u+2,
temos
integral!l(3 - 6u+2r)du = x + C ;Longrightarrow; 3u - 6lnl|u+2r| = x + C

Passo 7

Voltando a x e y com u = x + 2y, obtemos a solução implícita geral:
3,(x + 2y);-;6lnl|x + 2y + 2r| ;=; x + C

Resposta

3(x + 2y) ;-;6lnl|x + 2y + 2r| ;=; x + C,
que é a solução geral da equação dada.

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