Questão 05

Encontre uma representação em série de potências para a função
f(x)=13-x
e determine o intervalo de convergência.

Passo 1

O enunciado pede para escrever
f(x)=13-x
como uma série de potências em torno de x=0 e achar o intervalo de convergência. O conteúdo envolvido é a expansão em série geométrica.

Passo 2

Para usar a soma geométrica, manipulamos f(x) de modo a ter a forma tfrac11-r. Note que
13-x =13,11-x3
Aqui podemos identificar r=tfracx3.

Passo 3

Lembrando que
11-r=sumn=0^inftyr^npara |r|<1,
temos
f(x) =13sumn=0^inftyl(x3r)^n =sumn=0^inftyx^n3^n+1

Passo 4

A condição de convergência é l|tfracx3r|<1, ou seja
|x|<3
Logo o raio de convergência é R=3 e o intervalo de convergência é (-3,3).

Resposta

f(x)=sumn=0^inftyx^n3^n+1,
válido para |x|<3.

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