Resolva as equações diferenciais a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem uma equação do tipo:
Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial linear de ordem três com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) mais uma solução particular que resolve a equação completa. Vamos precisar usar métodos para equações de Euler-Cauchy e encontrar a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para equações desse tipo, fazemos uma substituição assumindo que a solução tem a forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Calculando as derivadas de
:
Passo 4
Substituindo
,
,
e
na equação homogênea:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, fatoramos
:
Como
, igualamos o que tá dentro dos colchetes a zero:
Passo 6
Expandindo e simplificando a equação:
Passo 7
Resolvendo a equação cúbica
. Testando valores possíveis, vemos que
é uma raiz.
Fatorando:
Resolvendo
:
Passo 8
As raízes são
,
e
. Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
Passo 9
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 10
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Não funciona, então tentamos uma solução particular de outra forma. Como
já está na solução homogênea, multiplicamos por
:
Tentamos
.
Passo 11
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Passo 12
Resolvendo para
:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
,
e
são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais específicas.