Resolva as equações diferenciais a seguir.
x^3 y^prime prime prime-3 x^2 y^prime prime+6 x y^prime-6 y=x, x>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A gente tem uma equação do tipo:
x^3 y''' - 3x^2 y'' + 6x y' - 6 y = x para x > 0
Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial linear de ordem três com coeficientes variáveis. Para resolver, vamos encontrar a solução geral que é composta pela solução da equação homogênea (onde o lado direito é zero) mais uma solução particular que resolve a equação completa. Vamos precisar usar métodos para equações de Euler-Cauchy e encontrar a solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
x^3 y''' - 3x^2 y'' + 6x y' - 6 y = 0
Para equações desse tipo, fazemos uma substituição assumindo que a solução tem a forma y = x^m , onde m é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Calculando as derivadas de y = x^m :
y' = m x^m-1 y'' = m(m-1) x^m-2 y''' = m(m-1)(m-2) x^m-3

Passo 4

Substituindo y , y' , y'' e y''' na equação homogênea:
x^3 cdot m(m-1)(m-2) x^m-3 - 3x^2 cdot m(m-1) x^m-2 + 6x cdot m x^m-1 - 6 x^m = 0
Simplificando os termos:
m(m-1)(m-2) x^m - 3m(m-1) x^m + 6m x^m - 6 x^m = 0

Passo 5

Agora, fatoramos x^m :
x^m [ m(m-1)(m-2) - 3m(m-1) + 6m - 6 ] = 0
Como x^m neq 0 , igualamos o que tá dentro dos colchetes a zero:
m(m-1)(m-2) - 3m(m-1) + 6m - 6 = 0

Passo 6

Expandindo e simplificando a equação:
m(m^2 - 3m + 2) - 3m^2 + 3m + 6m - 6 = 0 m^3 - 3m^2 + 2m - 3m^2 + 3m + 6m - 6 = 0 m^3 - 6m^2 + 11m - 6 = 0

Passo 7

Resolvendo a equação cúbica m^3 - 6m^2 + 11m - 6 = 0 . Testando valores possíveis, vemos que m = 1 é uma raiz.
Fatorando:
(m - 1)(m^2 - 5m + 6) = 0
Resolvendo m^2 - 5m + 6 = 0 :
m = 5 pm raiz25 - 242 = 5 pm 12 m = 3 ou m = 2

Passo 8

As raízes são m = 1 , m = 2 e m = 3 . Portanto, a solução geral da equação homogênea é:
yh = C1 x^1 + C2 x^2 + C3 x^3 = C1 x + C2 x^2 + C3 x^3

Passo 9

Agora, vamos encontrar uma solução particular yp para a equação completa:
x^3 y''' - 3x^2 y'' + 6x y' - 6 y = x
Como o lado direito é x , tentamos uma solução particular da forma yp = A x , onde A é uma constante a ser determinada.

Passo 10

Calculando as derivadas de yp = A x :
yp' = A yp'' = 0 yp''' = 0
Substituindo na equação:
x^3(0) - 3x^2(0) + 6x(A) - 6(A x) = x 6A x - 6A x = x 0 = x
Não funciona, então tentamos uma solução particular de outra forma. Como x já está na solução homogênea, multiplicamos por ln x :
Tentamos yp = A x ln x .

Passo 11

Calculando as derivadas de yp = A x ln x :
yp' = A ln x + A yp'' = Ax yp''' = -Ax^2
Substituindo na equação:
x^3(-Ax^2) - 3x^2(Ax) + 6x(A ln x + A) - 6A x ln x = x - A x - 3A x + 6A x ln x + 6A x - 6A x ln x = x -4A x + 6A x = x 2A x = x

Passo 12

Resolvendo para A :
2A x = x implies 2A = 1 implies A = 12
Portanto, a solução particular é:
yp = 12 x ln x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 x + C2 x^2 + C3 x^3 + 12 x ln x
Onde C1 , C2 e C3 são constantes que podem ser determinadas com condições iniciais específicas.

Exercícios relacionados