Resolva a equação diferencial de Cauchy-Euler:
x^2 y^prime prime-3 x y^prime-2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Cauchy–Euler
x^2y'' - 3,x,y' - 2,y = 0
Esse tipo de equação é resolvido tentando uma solução da forma y = x^m.

Passo 2

Supondo y = x^m, temos
y' = m,x^m-1, y'' = m(m-1),x^m-2
Substituindo em ;x^2y'' - 3x,y' - 2y = 0:
x^2l[m(m-1)x^m-2r] ;-;3xl[m x^m-1r];-;2,x^m=0 ;Longrightarrow; l[m(m-1)-3m-2r]x^m=0
Como x^mneq0 para xneq0, vem a equação característica
m(m-1)-3m-2=0 ;Longrightarrow; m^2-4m-2=0

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática
m^2-4m-2=0
pela fórmula de Bhaskara,
m = 4 pm raiz(-4)^2-4cdot1cdot(-2)2 = 4 pm raiz16+82 = 4 pm raiz242 =2pmraiz6

Passo 4

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da equação de Cauchy–Euler é
y(x) = C1,x^2+raiz6 ;+; C2,x^2-raiz6,
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x) = C1,x^2+raiz6 + C2,x^2-raiz6

Exercícios relacionados