integral0^1 x d xx^2+1

Passo 1

Então, a gente tem que resolver a integral definida de 0 a 1 de $ \frac{x}{x^{2}+1} $ em relação a $ x $. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, mais especificamente, técnicas de integração como a substituição. Vamos precisar usar a regra de substituição para facilitar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma variável mais simples. Observamos que o denominador $ x^{2} + 1 $ pode ser útil para isso. Vamos fazer uma substituição onde:
x^2 + 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $ para substituir $ dx $ na integral. Derivando $ u $ temos:
u
Isso implica que:
x
Então, podemos resolver para $ x , dx $:
dx

Passo 4

Substituindo $ u $ e $ x , dx $ na integral original, obtemos:
u
Aqui, calculamos os novos limites de integração:
Para $ x = 0 $:
x , dx
Para $ x = 1 $:
integral0^1 xx^2+1 , dx = integralu(0)^u(1) 1u cdot du2
Então, a integral fica:
x = 0

Passo 5

A integral de $ \frac{1}{u} $ em relação a $ u $ é o logaritmo natural de $ u $. Portanto:
1u

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração:
12 [ln(2) - ln(1)]
Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então:
ln(1) = 0

Resposta

A integral definida de 0 a 1 de $ \frac{x}{x^{2}+1} , dx $ é $ \frac{1}{2} \ln(2) $.

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