Passo 1
Então, a gente tem que resolver a integral definida de 0 a 1 de $ \frac{x}{x^{2}+1} $ em relação a $ x $. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais, mais especificamente, técnicas de integração como a substituição. Vamos precisar usar a regra de substituição para facilitar essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que pode ser substituída por uma variável mais simples. Observamos que o denominador $ x^{2} + 1 $ pode ser útil para isso. Vamos fazer uma substituição onde:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $ para substituir $ dx $ na integral. Derivando $ u $ temos:
Isso implica que:
Então, podemos resolver para $ x , dx $:
Passo 4
Substituindo $ u $ e $ x , dx $ na integral original, obtemos:
Aqui, calculamos os novos limites de integração:
Para $ x = 0 $:
Para $ x = 1 $:
Então, a integral fica:
Passo 5
A integral de $ \frac{1}{u} $ em relação a $ u $ é o logaritmo natural de $ u $. Portanto:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração:
Sabemos que $ \ln(1) = 0 $, então:
Resposta
A integral definida de 0 a 1 de $ \frac{x}{x^{2}+1} , dx $ é $ \frac{1}{2} \ln(2) $.