Resolva as equações diferenciais a seguir para todo
, lembrando que
é a função impulso unitário e
é o degrau unitário.
.
Passo 1
Beleza, a gente tem aqui uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e forçantes especiais:
onde
é o impulso unitário e
é o degrau unitário.
Conteúdo: Transformada de Laplace e frações parciais.
O que vamos precisar:
Conteúdo: Transformada de Laplace e frações parciais.
O que vamos precisar:
- Saber a transformada de Laplace de derivadas.
- Saber que
e . - Fazer frações parciais para inverter a transformada.
Passo 2
Aplicar Laplace dos dois lados, lembrando das condições iniciais nulas:
Então o LHS vira
O RHS é
Logo
Passo 3
Agora a gente faz frações parciais em
Multiplicando tudo por
:
Escolhendo valores:
- Para
: ⇒ . - Para
: ⇒ .
Comparando o coeficiente dedá ⇒ .
Então
Invertendo cada parte (usando tabelas de Laplace):
Lembrando o sinal de cada parcela, temos