Resolva as equações diferenciais a seguir para todo t >= 0, lembrando que de é a função impulso unitário e v(t) é o degrau unitário.
ddoty+2 doty+y=de.

Passo 1

Beleza, a gente tem aqui uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes e forçantes especiais:
ddoty(t) + 2doty(t) + y(t) = de
onde é o impulso unitário e é o degrau unitário.
Conteúdo: Transformada de Laplace e frações parciais.
O que vamos precisar:
  1. Saber a transformada de Laplace de derivadas.
  2. Saber que e .
  3. Fazer frações parciais para inverter a transformada.

Passo 2

Aplicar Laplace dos dois lados, lembrando das condições iniciais nulas:
Lddot y = s^2Y(s)-sy(0)-dot y(0)=s^2Y(s), Ldot y=sY(s), Ly=Y(s)
Então o LHS vira
s^2Y(s)+2l(sY(s)r)+Y(s) = (s^2+2s+1),Y(s) = (s+1)^2Y(s)
O RHS é
Lde
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Y(s) = 1 + 2s(s+1)^2 = s+2s,(s+1)^2

Passo 3

Agora a gente faz frações parciais em
s+2s,(s+1)^2 = As + Bs+1 + C(s+1)^2
Multiplicando tudo por s+2 = A,(s+1)^2 + B,s,(s+1) + C,s :
Y(s) = 2s ;-;2s+1;-;1(s+1)^2
Escolhendo valores:
  • Para L^-1tfrac2s=2, L^-1tfrac2s+1=2,e^-t, L^-1tfrac1(s+1)^2=t,e^-t : y(t) = 2 ;-;2,e^-t;-;t,e^-t, t>=0 .
  • Para : .
    Comparando o coeficiente de .
Então
Invertendo cada parte (usando tabelas de Laplace):
Lembrando o sinal de cada parcela, temos

Resposta

boxed,y(t) = 2 -2e^-t - t,e^-t, t>=0,

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