Obtenha a transformada de Laplace inversa das seguintes funções.
f(s)=2 s+1(s+1)(s+2)^2(s^2+2 s+5).

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar a transformada de Laplace inversa de
hat f(s)=2s+1(s+1)(s+2)^2(s^2+2s+5)
Isso é conteúdo de Equações Diferenciais / Transformada de Laplace, e o que a gente vai usar é:
  1. decomposição em frações parciais pra quebrar esse quociente todo;
  2. tabelinha de transformadas inversas básicas, tipo
    ,
    ,
    ,
    .
A partir do próximo passo, mão na massa!

Passo 2

Primeiro a gente escreve a ANS – decomposição em frações parciais:
2s+1(s+1)(s+2)^2(s^2+2s+5) =As+1+Bs+2+C(s+2)^2+Ds+Es^2+2s+5
Multiplicando tudo pelo denominador comum 2s+1 = A,(s+2)^2(s^2+2s+5) + B,(s+1)(s+2)(s^2+2s+5) + C,(s+1)(s^2+2s+5) + (Ds+E),(s+1)(s+2)^2 , dá

Passo 3

Agora a gente encontra e usando valores espertos de :
  • Para , todos os termos com fator somem, sobrando
  • Para , os termos com viram zero, restando

Passo 4

Faltam B=1125, D=-19100, E=-720 . A gente escolhe mais 3 valores de (por exemplo ), monta 3 equações e resolve:
Resolvendo esse sistema dá

Passo 5

Então nossa decomposição final é
2s+1(s+1)(s+2)^2(s^2+2s+5) =-14,1s+1 +1125,1s+2 +35,1(s+2)^2 +-tfrac19100s -tfrac720(s+1)^2+4
Pra inverter, a gente ainda escreve
-tfrac19100s-tfrac720 =-tfrac19100(s+1);-;tfrac425,
e usa as fórmulas:




Juntando tudo, chega-se a:

Resposta

f(t) =-tfrac14,e^-t +tfrac1125,e^-2t +tfrac35,t,e^-2t -tfrac19100,e^-tcos(2t) -tfrac225,e^-tsin(2t)

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