Obtenha a transformada de Laplace inversa das seguintes funções.
.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente achar a transformada de Laplace inversa de
Isso é conteúdo de Equações Diferenciais / Transformada de Laplace, e o que a gente vai usar é:
- decomposição em frações parciais pra quebrar esse quociente todo;
- tabelinha de transformadas inversas básicas, tipo
,
,
,
.
A partir do próximo passo, mão na massa!
Passo 2
Primeiro a gente escreve a ANS – decomposição em frações parciais:
Multiplicando tudo pelo denominador comum
, dá
Passo 3
Agora a gente encontra
e
usando valores espertos de
:
- Para
, todos os termos com fator somem, sobrando
- Para
, os termos com viram zero, restando
Passo 4
Faltam
. A gente escolhe mais 3 valores de
(por exemplo
), monta 3 equações e resolve:
Resolvendo esse sistema dá
Passo 5
Então nossa decomposição final é
Pra inverter, a gente ainda escreve
e usa as fórmulas:
Juntando tudo, chega-se a: