Resolva as equações diferenciais a seguir. Verifique inicialmente que as equações são homogêneas e utilize a substituição y=v x.
(x+y) d x+(x-y) d y=0

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva a equação diferencial
(x+y)\,dx+(x-y)\,dy=0,
verificando inicialmente que a equação é homogênea e usando a substituição \,y=vx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Equação diferencial em forma diferencial exata não necessariamente: M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=x+y e N(x,y)=x-y.
  • Pedem: verificar homogeneidade e resolver usando \,y=vx (ou seja, reduzir a uma equação em v e x e integrar).
  • Resultado esperado: solução geral (implícita ou explícita) envolvendo uma constante arbitrária.

Passo 2

Verificação de homogeneidade (calma — é só checar o grau):
  • Uma função F(x,y) é homogênea de grau n se para todo \lambda>0 vale F(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{n}F(x,y).
  • Aqui M(x,y)=x+y. Então M(\lambda x,\lambda y)=\lambda x+\lambda y=\lambda(x+y)=\lambda^{1}M(x,y). Logo M é homogênea de grau 1.
  • E N(x,y)=x-y. Então N(\lambda x,\lambda y)=\lambda x-\lambda y=\lambda(x-y)=\lambda^{1}N(x,y). Logo N também é homogênea de grau 1.
  • Como M e N têm o mesmo grau ( 1), a equação é homogênea e a substituição \,y=vx é apropriada.

Passo 3

Fazer a substituição \,y=vx. Lembrete: isto transforma a equação numa equação para v e x. Calculamos também a diferencial de y:
y=vx\quad\Rightarrow\quad dy=v\,dx + x\,dv.
Agora substituo y e dy na equação original:
(x+y)\,dx+(x-y)\,dy=0
torna-se
\bigl(x+vx\bigr)\,dx + \bigl(x-vx\bigr)\bigl(v\,dx+x\,dv\bigr)=0.

Passo 4

Simplifico passo a passo:
  • Fatorando x nos termos:
x(1+v)\,dx + x(1-v)\bigl(v\,dx + x\,dv\bigr)=0.
  • Expandindo o segundo produto:
x(1+v)\,dx + x(1-v)v\,dx + x(1-v)x\,dv =0.
  • Reagrupando termos com dx e com dv:
x\bigl[(1+v) + v(1-v)\bigr]dx + x^{2}(1-v)\,dv =0.
  • Calculo a soma no colchete:
(1+v) + v(1-v) = 1 + v + v - v^{2} = 1 + 2v - v^{2}.
Portanto a equação fica
x\bigl(1+2v-v^{2}\bigr)\,dx + x^{2}(1-v)\,dv =0.

Passo 5

Isolar e separar variáveis (queremos uma forma integrável):
  • Divido tudo por x^{2} (atenção: isto assume provisoriamente x\neq0; tratamos x=0 depois):
\frac{1+2v-v^{2}}{x}\,dx + (1-v)\,dv =0.
  • Reescrevo para separar x de v:
\frac{dx}{x} = -\frac{1-v}{1+2v-v^{2}}\,dv.
Agora as variáveis estão separadas: lado esquerdo só em x, lado direito só em v.

Passo 6

Integrar ambos os lados:
  • Integral do lado esquerdo:
\int \frac{dx}{x} = \ln|x| + C_{1}.
  • Integral do lado direito (preste atenção na técnica; é um reconhecimento de derivada):
\int -\frac{1-v}{1+2v-v^{2}}\,dv = \int \frac{v-1}{1+2v-v^{2}}\,dv.
Defina D(v)=1+2v-v^{2}. Então D'(v)=2-2v=-2(v-1). Observe que v-1 = -\tfrac{1}{2}D'(v). Assim
\frac{v-1}{D(v)}\,dv = -\frac{1}{2}\frac{D'(v)}{D(v)}\,dv,
cuja integral é
-\frac{1}{2}\ln|D(v)| + C_{2} = -\frac{1}{2}\ln|1+2v-v^{2}| + C_{2}.
  • Igualando as integrais (absorvendo constantes em uma só constante C):
\ln|x| = -\frac{1}{2}\ln|1+2v-v^{2}| + C.

Passo 7

Voltar a variável y e simplificar a expressão da solução:
  • Substituo v=\dfrac{y}{x} na relação integrada:
\ln|x| + \frac{1}{2}\ln\bigl|1+2\frac{y}{x}-\frac{y^{2}}{x^{2}}\bigr| = C.
  • Junto os logaritmos:
\ln\!\left(|x|\sqrt{\Bigl|1+2\frac{y}{x}-\frac{y^{2}}{x^{2}}\Bigr|}\right)=C.
  • Exponenciando e limpando constantes (e quadruplicando se quiser eliminar a raiz), podemos escrever de forma polinomial (mais limpa):
x^{2}\bigl(1+2\frac{y}{x}-\frac{y^{2}}{x^{2}}\bigr)=C',
que simplifica para
x^{2}+2xy-y^{2}=C',
onde C' é uma constante arbitrária (igual a e^{2C} até um fator de sinal). Esta é a solução geral implícita.

Passo 8

Observações finais e casos especiais (para não ser pego de surpresa na prova):
  • A divisão por x^{2} no passo 5 supõe x\neq0. A solução geral x^{2}+2xy-y^{2}=C também descreve curvas que atravessam x=0 quando o C apropriado for escolhido, então não há perda real de generalidade (exceto talvez pontos isolados).
  • Há soluções lineares obtidas com v= constante que surgem quando 1+2v-v^{2}=0. Essas constantes são
v=1\pm\sqrt{2},
ou seja as retas y=(1\pm\sqrt{2})x. Essas retas correspondem ao caso C=0 na solução x^{2}+2xy-y^{2}=C (verificação: se v é raiz de 1+2v-v^{2}=0 então x^{2}+2xy-y^{2}=x^{2}(1+2v-v^{2})=0).
  • Portanto a solução geral implícita x^{2}+2xy-y^{2}=C já engloba também as retas singulares quando C=0.

Resposta

x^{2}+2xy-y^{2}=C

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