Resolva as equações diferenciais a seguir. Verifique inicialmente que as equações são homogêneas e utilize a substituição
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolver a equação. Além disso o enunciado pede que se verifique inicialmente que a equação é homogênea e que se utilize a substituição
.
Informações fornecidas:
- A equação é uma equação de primeira ordem do tipo
função de e . - Foi indicado explicitamente o uso da substituição
.
O que é pedido:
- Verificar que a equação é homogênea.
- Resolver a equação usando
e obter a solução geral.
Passo 2
Verificar homogeneidade: uma função
é homogênea de grau zero se
para todo
. Aqui
Calcular
:
Portanto
é homogênea de grau zero. Isso permite usar a substituição
.
Passo 3
Fazer a substituição
. Lembrar que
depende de
, então
. A derivada
em termos de
é obtida pela regra do produto:
Passo 4
Substituir
e
na equação original:
Fatorando
no numerador e denominador do lado direito:
Passo 5
Isolar o termo com
:
Colocar em denom comum
:
Assim obtemos a equação separável para
:
Passo 6
Separar variáveis, colocando termos em
de um lado e
do outro:
Agora integramos ambos os lados.
Passo 7
Calcular a integral no lado esquerdo. Escrever a fração como diferença de duas frações:
Integrar termo a termo:
Passo 8
Resolver cada integral:
- Para
: reconhecer a forma . Aqui . Logo
- Para
: usar a substituição , , então
Passo 9
Juntando os resultados das integrais e integrando o lado direito
, obtemos
onde
é constante de integração.
Passo 10
Voltar à variável original usando
. Substituindo:
Essa é a solução implícita geral da equação diferencial.