Resolva as equações diferenciais a seguir. Verifique inicialmente que as equações são homogêneas e utilize a substituição y=v x.
y^{\prime}=\frac{2 x+y}{x-y}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=\frac{2x+y}{x-y}
e pede para resolver a equação. Além disso o enunciado pede que se verifique inicialmente que a equação é homogênea e que se utilize a substituição y=vx.
Informações fornecidas:
  • A equação é uma equação de primeira ordem do tipo y'= função de x e y.
  • Foi indicado explicitamente o uso da substituição y=vx.
O que é pedido:
  • Verificar que a equação é homogênea.
  • Resolver a equação usando y=vx e obter a solução geral.

Passo 2

Verificar homogeneidade: uma função f(x,y) é homogênea de grau zero se f(tx,ty)=f(x,y) para todo t\neq0. Aqui
f(x,y)=\frac{2x+y}{x-y}.
Calcular f(tx,ty):
f(tx,ty)=\frac{2(tx)+ty}{tx-ty}=\frac{t(2x+y)}{t(x-y)}=\frac{2x+y}{x-y}=f(x,y).
Portanto f é homogênea de grau zero. Isso permite usar a substituição y=vx.

Passo 3

Fazer a substituição y=vx. Lembrar que y depende de x, então v=v(x). A derivada y' em termos de v é obtida pela regra do produto:
y'= \frac{d}{dx}(v x)=v + x\frac{dv}{dx}.

Passo 4

Substituir y=vx e y'=v+x\frac{dv}{dx} na equação original:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{2x + vx}{x - vx}.
Fatorando x no numerador e denominador do lado direito:
v + x\frac{dv}{dx} = \frac{x(2+v)}{x(1-v)}=\frac{2+v}{1-v}.

Passo 5

Isolar o termo com \dfrac{dv}{dx}:
x\frac{dv}{dx} = \frac{2+v}{1-v} - v.
Colocar em denom comum 1-v:
\frac{2+v}{1-v} - v = \frac{2+v - v(1-v)}{1-v} = \frac{2+v - v + v^2}{1-v} = \frac{2+v^2}{1-v}.
Assim obtemos a equação separável para v(x):
x\frac{dv}{dx} = \frac{2+v^2}{1-v}.

Passo 6

Separar variáveis, colocando termos em v de um lado e x do outro:
\frac{1-v}{2+v^2}\,dv = \frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados.

Passo 7

Calcular a integral no lado esquerdo. Escrever a fração como diferença de duas frações:
\frac{1-v}{2+v^2}=\frac{1}{2+v^2}-\frac{v}{2+v^2}.
Integrar termo a termo:
\int \frac{1}{2+v^2}\,dv \quad\text{e}\quad \int \frac{v}{2+v^2}\,dv.

Passo 8

Resolver cada integral:
  • Para \int \dfrac{1}{2+v^2}\,dv: reconhecer a forma \int \dfrac{1}{a^2+u^2}du=\dfrac{1}{a}\arctan\!\left(\dfrac{u}{a}\right). Aqui a=\sqrt{2}. Logo
\int \frac{1}{2+v^2}\,dv = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{v}{\sqrt{2}}\right).
  • Para \int \dfrac{v}{2+v^2}\,dv: usar a substituição w=2+v^2, dw=2v\,dv, então
\int \frac{v}{2+v^2}\,dv = \frac{1}{2}\int \frac{dw}{w} = \frac{1}{2}\ln|w| + C = \frac{1}{2}\ln(2+v^2)+C.

Passo 9

Juntando os resultados das integrais e integrando o lado direito \int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C, obtemos
\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{v}{\sqrt{2}}\right) - \frac{1}{2}\ln(2+v^2) = \ln|x| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 10

Voltar à variável original usando v=\dfrac{y}{x}. Substituindo:
\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{\,y/x\,}{\sqrt{2}}\right) - \frac{1}{2}\ln\!\bigg(2+\bigg(\frac{y}{x}\bigg)^{2}\bigg) = \ln|x| + C.
Essa é a solução implícita geral da equação diferencial.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{y/x}{\sqrt{2}}\right)-\frac{1}{2}\ln\!\Big(2+\big(\tfrac{y}{x}\big)^{2}\Big)=\ln|x|+C

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