Resolva as equações diferenciais a seguir. Verifique inicialmente que as equações são homogêneas e utilize a substituição y=v x.
\left(x^{2}-y^{2}\right) d x+2 x y d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial:
\left(x^{2}-y^{2}\right)\,dx+2xy\,dy=0
Pede-se resolver a equação, começando por verificar que ela é homogênea e usando a substituição \,y=vx\,.
Informações relevantes dadas:
  • A equação está na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=x^{2}-y^{2} e N(x,y)=2xy.
  • Deve ser verificado que M e N são homogêneos e então aplicar y=vx.

Passo 2

Verificar homogeneidade (explicando o que é): uma função F(x,y) é homogênea de grau n se F(tx,ty)=t^{n}F(x,y) para todo t. Isso é útil porque, para uma equação diferencial com M e N homogêneos do mesmo grau, a substituição y=vx transforma a equação num problema separável em v e x.
Calcular os graus:
M(tx,ty)=(tx)^{2}-(ty)^{2}=t^{2}(x^{2}-y^{2})=t^{2}M(x,y),
N(tx,ty)=2(tx)(ty)=t^{2}\cdot 2xy=t^{2}N(x,y).
Portanto M e N são homogêneos de grau 2. Assim a substituição y=vx é apropriada.

Passo 3

Fazer a substituição y=vx. Primeiro, calcular dy em termos de v e x usando a regra da diferenciação de um produto:
y=vx \quad\Rightarrow\quad dy=v\,dx + x\,dv.
Isto é a fórmula que vamos colocar na equação original.

Passo 4

Substituir y=vx e dy=v\,dx+x\,dv na equação original. Começando pelas partes:
x^{2}-y^{2}=x^{2}-v^{2}x^{2}=(1-v^{2})x^{2},
2xy=2x(vx)=2v x^{2}.
Agora substituir:
(1-v^{2})x^{2}\,dx + 2v x^{2}\,(v\,dx + x\,dv)=0.
Expandir o segundo termo:
(1-v^{2})x^{2}\,dx + 2v x^{2}\cdot v\,dx + 2v x^{2}\cdot x\,dv=0.
Simplificar termos semelhantes (todos têm fator x^{2}):
x^{2}\bigl((1-v^{2})+2v^{2}\bigr)\,dx + 2v x^{3}\,dv=0.
Calcular o parêntese:
(1-v^{2})+2v^{2}=1+v^{2}.
Logo:
x^{2}(1+v^{2})\,dx + 2v x^{3}\,dv=0.

Passo 5

Simplificar a expressão dividindo por x^{2}. Observação: ao dividir por x^{2} estamos excluindo momentaneamente a possível solução x=0 (trataremos disso depois). Dividindo dá:
(1+v^{2})\,dx + 2v x\,dv=0.
Reorganizar para obter termos separáveis em x e v:
\frac{dx}{x} + \frac{2v}{1+v^{2}}\,dv=0,
obtendo uma equação que pode ser integrada diretamente.

Passo 6

Integrar ambos os lados. Integrais padrão a lembrar:
  • \displaystyle\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C.
  • \displaystyle\int \frac{2v}{1+v^{2}}\,dv=\ln(1+v^{2})+C porque a derivada de 1+v^{2} é 2v.
Aplicando:
\int \frac{dx}{x} + \int \frac{2v}{1+v^{2}}\,dv = 0
\ln|x| + \ln(1+v^{2}) = C,
onde C é constante de integração.

Passo 7

Combinar logaritmos e voltar à variável y. Somando os logaritmos:
\ln\bigl(|x|(1+v^{2})\bigr)=C.
Exponenciando:
|x|(1+v^{2})=K,
com K=e^{C} constante positiva. Para permitir constantes reais arbitrárias podemos escrever simplesmente
x(1+v^{2})=C_{1},
onde C_{1} é uma constante arbitrária (podendo absorver sinal). Lembrando v=\dfrac{y}{x}, temos
x\!\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)=C_{1} \quad\Rightarrow\quad \frac{x^{2}+y^{2}}{x}=C_{1}.
Multiplicando por x:
x^{2}+y^{2}=C_{1}x.
Esta é a solução implícita geral. Pode-se reorganizar completando quadrado:
\left(x-\frac{C_{1}}{2}\right)^{2}+y^{2}=\left(\frac{C_{1}}{2}\right)^{2},
que é a família de círculos cujo centro é \bigl(\tfrac{C_{1}}{2},0\bigr) e raio \tfrac{|C_{1}|}{2}.

Passo 8

Tratar a solução excluída pela divisão por x^{2}: a linha x=0. Verificar se x=0 é solução da equação diferencial original: se x=0 então a equação original fica (-y^{2})\,dx + 0 \cdot dy=0. Para curvas com x\equiv 0 tem dx=0 identicamente, e a equação é satisfeita (pois 0=0). Portanto a reta vertical x=0 também é solução. A solução geral obtida implicitamente x^{2}+y^{2}=C_{1}x não representa a reta x=0 para nenhum valor finito de C_{1}, então deve-se indicar x=0 como solução singular adicional.

Resposta

x^{2}+y^{2}=C x
x=0

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