Resolva as equações diferenciais a seguir. Verifique inicialmente que as equações são homogêneas e utilize a substituição
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial em forma diferencial:
Pede-se resolver a equação, começando por verificar que ela é homogênea e usando a substituição
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- A equação está na forma
com e . - Deve ser verificado que
e são homogêneos e então aplicar .
Passo 2
Verificar homogeneidade (explicando o que é): uma função
é homogênea de grau
se
para todo
. Isso é útil porque, para uma equação diferencial com
e
homogêneos do mesmo grau, a substituição
transforma a equação num problema separável em
e
.
Calcular os graus:
Portanto
e
são homogêneos de grau
. Assim a substituição
é apropriada.
Passo 3
Fazer a substituição
. Primeiro, calcular
em termos de
e
usando a regra da diferenciação de um produto:
Isto é a fórmula que vamos colocar na equação original.
Passo 4
Substituir
e
na equação original. Começando pelas partes:
Agora substituir:
Expandir o segundo termo:
Simplificar termos semelhantes (todos têm fator
):
Calcular o parêntese:
Logo:
Passo 5
Simplificar a expressão dividindo por
. Observação: ao dividir por
estamos excluindo momentaneamente a possível solução
(trataremos disso depois). Dividindo dá:
Reorganizar para obter termos separáveis em
e
:
obtendo uma equação que pode ser integrada diretamente.
Passo 6
Integrar ambos os lados. Integrais padrão a lembrar:
-
. -
porque a derivada de é .
Aplicando:
onde
é constante de integração.
Passo 7
Combinar logaritmos e voltar à variável
. Somando os logaritmos:
Exponenciando:
com
constante positiva. Para permitir constantes reais arbitrárias podemos escrever simplesmente
onde
é uma constante arbitrária (podendo absorver sinal). Lembrando
, temos
Multiplicando por
:
Esta é a solução implícita geral. Pode-se reorganizar completando quadrado:
que é a família de círculos cujo centro é
e raio
.
Passo 8
Tratar a solução excluída pela divisão por
: a linha
. Verificar se
é solução da equação diferencial original: se
então a equação original fica
. Para curvas com
tem
identicamente, e a equação é satisfeita (pois
). Portanto a reta vertical
também é solução. A solução geral obtida implicitamente
não representa a reta
para nenhum valor finito de
, então deve-se indicar
como solução singular adicional.