Resolva as equações diferenciais a seguir. Verifique inicialmente que as equações são homogêneas e utilize a substituição y=v x.
y^{\prime}=\frac{x^{2}-x y+y^{2}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'=\frac{x^{2}-x y+y^{2}}{x^{2}}
e pede para resolvê‑la. O enunciado também orienta: verificar inicialmente que a equação é homogênea e usar a substituição y=vx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é dada explicitamente por y' em função de x e y.
  • Foi solicitado verificar homogeneidade.
  • Foi indicada a substituição y=vx como método de solução.
  • É preciso encontrar a família de soluções gerais (e mencionar eventuais soluções singulares).

Passo 2

Verificar que o termo à direita é uma função homogênea de grau zero.
Definição prática: uma função F(x,y) é homogênea de grau zero se F(tx,ty)=F(x,y) para todo t\neq0. Aqui o termo à direita é
F(x,y)=\frac{x^{2}-x y+y^{2}}{x^{2}}.
Dividindo numerador e denominador por x^{2} (assumindo x\neq0) obtemos
F(x,y)=\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{x y}{x^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}=1-\frac{y}{x}+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}.
Como F(x,y) depende apenas da razão y/x, é uma função homogênea de grau zero. Portanto a substituição y=vx é apropriada.

Passo 3

Fazer a substituição y=vx e calcular y' em termos de v e dv/dx.
Se y=vx com v=v(x), então usando a regra do produto:
y' = v + x\frac{dv}{dx}.

Passo 4

Substituir y=vx e y' na equação original.
A parte direita, expressa em v, ficou (peguei isso da reescrita do Passo 2)
\frac{x^{2}-x y+y^{2}}{x^{2}} = 1 - \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}\right)^{2} = 1 - v + v^{2}.
Igualando às duas expressões de y':
v + x\frac{dv}{dx} = 1 - v + v^{2}.
Isolando o termo com dv/dx:
x\frac{dv}{dx} = 1 - v + v^{2} - v = 1 - 2v + v^{2}.
Observação algébrica: 1-2v+v^{2}=(v-1)^{2}. Portanto
x\frac{dv}{dx} = (v-1)^{2}.

Passo 5

Reconhecer que a equação para v é separável e separar variáveis.
Escrevendo de forma separável:
\frac{dv}{(v-1)^{2}}=\frac{dx}{x}.

Passo 6

Integrar ambos os lados e tratar a constante de integração.
Integral esquerda: \displaystyle\int \frac{dv}{(v-1)^{2}}=\int (v-1)^{-2}dv. Usando \int u^{-2}du=-u^{-1}+C com u=v-1, obtemos
\int \frac{dv}{(v-1)^{2}} = -\frac{1}{v-1}+C_1.
Integral direita: \displaystyle\int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C_2.
Igualando as primitivas (absorvendo constantes numa só constante C):
-\frac{1}{v-1}=\ln|x|+C.
Multiplicando por -1:
\frac{1}{v-1} = -\ln|x| + C_1,
onde C_1=-C é uma constante arbitrária. Chamando C_1 simplesmente de C (constante arbitrária), tem‑se
\frac{1}{v-1}=C-\ln|x|.

Passo 7

Resolver para v e voltar para y.
Invertemos a expressão:
v-1=\frac{1}{C-\ln|x|}.
Logo
v=1+\frac{1}{C-\ln|x|}.
Lembrando que v=\dfrac{y}{x}, obtemos a solução geral em y:
\frac{y}{x}=1+\frac{1}{C-\ln|x|}.
Multiplicando por x:
y = x\left(1+\frac{1}{C-\ln|x|}\right)=x+\frac{x}{C-\ln|x|},
onde C é a constante arbitrária de integração. Deve‑se observar que x\neq0 e que C-\ln|x|\neq0 para que a expressão não seja singular.

Passo 8

Identificar soluções singulares que a separação pode ter perdido.
A equação separada tinha fator (v-1)^{2} no numerador; a constante solução v\equiv1 é uma solução constante da equação diferencial para v. Isso corresponde a
v=1\quad\Rightarrow\quad y=x.
A solução y=x é portanto uma solução particular (singular no sentido de equilíbrio de v) e está incluída como caso limite da família geral quando a constante C tende a infinito, mas convém enunciá‑la explicitamente.

Resposta

y = x+\dfrac{x}{C-\ln|x|}, C constante arbitrária\n
y = x

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