Resolva as equações diferenciais a seguir. Verifique inicialmente que as equações são homogêneas e utilize a substituição
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolvê‑la. O enunciado também orienta: verificar inicialmente que a equação é homogênea e usar a substituição
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é dada explicitamente por
em função de e . - Foi solicitado verificar homogeneidade.
- Foi indicada a substituição
como método de solução. - É preciso encontrar a família de soluções gerais (e mencionar eventuais soluções singulares).
Passo 2
Verificar que o termo à direita é uma função homogênea de grau zero.
Definição prática: uma função
é homogênea de grau zero se
para todo
. Aqui o termo à direita é
Dividindo numerador e denominador por
(assumindo
) obtemos
Como
depende apenas da razão
, é uma função homogênea de grau zero. Portanto a substituição
é apropriada.
Passo 3
Fazer a substituição
e calcular
em termos de
e
.
Se
com
, então usando a regra do produto:
Passo 4
Substituir
e
na equação original.
A parte direita, expressa em
, ficou (peguei isso da reescrita do Passo 2)
Igualando às duas expressões de
:
Isolando o termo com
:
Observação algébrica:
. Portanto
Passo 5
Reconhecer que a equação para
é separável e separar variáveis.
Escrevendo de forma separável:
Passo 6
Integrar ambos os lados e tratar a constante de integração.
Integral esquerda:
. Usando
com
, obtemos
Integral direita:
.
Igualando as primitivas (absorvendo constantes numa só constante
):
Multiplicando por
:
onde
é uma constante arbitrária. Chamando
simplesmente de
(constante arbitrária), tem‑se
Passo 7
Resolver para
e voltar para
.
Invertemos a expressão:
Logo
Lembrando que
, obtemos a solução geral em
:
Multiplicando por
:
onde
é a constante arbitrária de integração. Deve‑se observar que
e que
para que a expressão não seja singular.
Passo 8
Identificar soluções singulares que a separação pode ter perdido.
A equação separada tinha fator
no numerador; a constante solução
é uma solução constante da equação diferencial para
. Isso corresponde a
A solução
é portanto uma solução particular (singular no sentido de equilíbrio de
) e está incluída como caso limite da família geral quando a constante
tende a infinito, mas convém enunciá‑la explicitamente.