Resolva as equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes variáveis:
x y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 x y=0

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis
x\,y''-2y'+2x\,y=0.
Informações relevantes dadas:
\text{equação: }x\,y''-2y'+2x\,y=0.çã
Observação importante que afeta a resolução: temos divisão por x ao manipular a equação, logo precisamos ter x\neq 0 (podemos tratar x>0 e x<0 separadamente; formulas ficam válidas em intervalos onde x não muda de sinal).

Passo 2

Colocamos a equação em forma padrão (dividindo por x, assumindo x\neq 0):
y''-\frac{2}{x}y'+2y=0.
Agora eu te ensino um truque muito útil: para eliminar o termo com y' numa equação da forma
y''+P(x)y'+Q(x)y=0,
fazemos a substituição
y(x)=\exp\!\Big(-\tfrac{1}{2}\int P(x)\,dx\Big)\,u(x),
porque essa multiplicação “cancela” o termo linear em y' e transforma a EDO numa equação sem termo de primeira derivada para u. Aqui P(x)=-\tfrac{2}{x}, então
-\tfrac{1}{2}\int P(x)\,dx = -\tfrac{1}{2}\int\Big(-\frac{2}{x}\Big)dx = \ln|x|.
Portanto escolhemos
y(x)=x\,u(x).

Passo 3

Calculemos as derivadas de y em função de u:
y' = u + x u',\qquad y'' = 2u' + x u''.
Substituindo em y''-\dfrac{2}{x}y'+2y=0:
2u' + x u'' - \frac{2}{x}\big(u + x u'\big) + 2x u = 0.
Simplificando termos:
2u' + x u'' - \frac{2}{x}u - 2u' + 2x u = 0.
Os 2u' se cancelam, restando
x u'' - \frac{2}{x}u + 2x u = 0.
Dividindo por x:
u'' +\Big(2-\frac{2}{x^2}\Big)u=0.

Passo 4

Vamos interpretar a equação obtida:
u''+\Big(2-\frac{2}{x^2}\Big)u=0.
É uma equação do tipo
u''+\Big(k^2-\frac{\ell(\ell+1)}{x^2}\Big)u=0,
que aparece nas equações radiais (spherical Bessel) se identificarmos k^2=2 (logo k=\sqrt{2}) e \ell(\ell+1)=2. A equação \ell(\ell+1)=2 tem solução \ell=1. Então essa equação tem soluções expressáveis em termos de funções trigonométricas racionais (soluções esféricas) ou em termos de funções de Bessel de ordem 3/2. Vou seguir um caminho didático que leva a soluções em funções elementares (seno e cosseno) multiplicadas por polinômios/racionais em x.

Passo 5

Proponho um ansatz (palpite bem guiado) para u da forma
u(x)=\Big(A+\frac{B}{x}\Big)\cos(kx)+\Big(C+\frac{D}{x}\Big)\sin(kx),
com k=\sqrt{2}. Explico por que: para equações com termo \dfrac{1}{x^2} e coeficiente constante k^2, as soluções costumam misturar senos/cossenos com termos em 1/x. Esse ansatz contém os dois comportamentos e é suficientemente geral para capturar as duas soluções independentes.
Definindo
p(x)=A+\frac{B}{x},\qquad q(x)=C+\frac{D}{x},
temos
u=p\cos(kx)+q\sin(kx).
Calculemos derivadas necessárias de forma organizada. Primeiro:
p'(x)=-\frac{B}{x^2},\qquad p''(x)=\frac{2B}{x^3},
q'(x)=-\frac{D}{x^2},\qquad q''(x)=\frac{2D}{x^3}.
Usando a regra do produto para u (mais direto do que derivar termo a termo):
u''=(p''+2k q' - k^2 p)\cos(kx) + (q'' - 2k p' - k^2 q)\sin(kx).
Substituindo na equação u''+(k^2-\tfrac{2}{x^2})u=0 e coletando termos em \cos(kx) e \sin(kx), obtemos duas equações (cada coeficiente deve ser zero):
coeficiente de \cos(kx):
p'' + 2k q' - \frac{2}{x^2}p = 0,
coeficiente de \sin(kx):
q'' - 2k p' - \frac{2}{x^2}q = 0.

Passo 6

Agora substituímos p'',q',p,q nas expressões:
para \cos(kx):
\frac{2B}{x^3} + 2k\Big(-\frac{D}{x^2}\Big) - \frac{2}{x^2}\Big(A+\frac{B}{x}\Big)=0.
Simplificando:
\frac{2B}{x^3} - \frac{2kD}{x^2} -\frac{2A}{x^2} - \frac{2B}{x^3}=0.
Os termos com x^{-3} se cancelam, sobrando
-\frac{2kD}{x^2}-\frac{2A}{x^2}=0 \quad\Rightarrow\quad -2kD-2A=0.
Logo
A=-kD.
Para \sin(kx):
\frac{2D}{x^3} - 2k\Big(-\frac{B}{x^2}\Big) - \frac{2}{x^2}\Big(C+\frac{D}{x}\Big)=0.
Simplificando:
\frac{2D}{x^3} + \frac{2kB}{x^2} -\frac{2C}{x^2} - \frac{2D}{x^3}=0.
Os x^{-3} desaparecem, sobrando
\frac{2kB-2C}{x^2}=0 \quad\Rightarrow\quad C=kB.
Portanto as constantes devem satisfazer
A=-kD,\qquad C=kB.

Passo 7

Dessas relações vemos que há duas constantes livres (por exemplo B e D), o que corresponde a duas soluções independentes. Escolhemos convenientemente duas escolhas de base para obter soluções independentes simples.
Escolha 1: tome B=1 e D=0. Então C=kB=k e A=-kD=0. Assim
p(x)=\frac{1}{x},\qquad q(x)=k,
portanto
u_1(x)=\frac{1}{x}\cos(kx)+k\sin(kx).
Escolha 2: tome B=0 e D=1. Então C=kB=0 e A=-kD=-k. Assim
p(x)=-k,\qquad q(x)=\frac{1}{x},
portanto
u_2(x)=-k\cos(kx)+\frac{1}{x}\sin(kx).
Essas duas são linearmente independentes (podemos ver pela forma diferente das combinações em 1/x e em funções puras seno/cosseno).

Passo 8

Voltamos à variável original y usando y=xu. Multiplicando as soluções u_1,u_2 por x obtemos soluções para y:
Para u_1:
y_1(x)=x u_1(x)=x\Big(\frac{1}{x}\cos(kx)+k\sin(kx)\Big)=\cos(kx)+k x\sin(kx).
Para u_2:
y_2(x)=x u_2(x)=x\Big(-k\cos(kx)+\frac{1}{x}\sin(kx)\Big)=\sin(kx)-k x\cos(kx).
Onde lembramos k=\sqrt{2}.

Resposta

y(x)=C_1\big(\cos(\sqrt{2}\,x)+\sqrt{2}\,x\sin(\sqrt{2}\,x)\big)+C_2\big(\sin(\sqrt{2}\,x)-\sqrt{2}\,x\cos(\sqrt{2}\,x)\big)

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