Resolva as equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes variáveis:
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis
Informações relevantes dadas:
Observação importante que afeta a resolução: temos divisão por
ao manipular a equação, logo precisamos ter
(podemos tratar
e
separadamente; formulas ficam válidas em intervalos onde
não muda de sinal).
Passo 2
Colocamos a equação em forma padrão (dividindo por
, assumindo
):
Agora eu te ensino um truque muito útil: para eliminar o termo com
numa equação da forma
fazemos a substituição
porque essa multiplicação “cancela” o termo linear em
e transforma a EDO numa equação sem termo de primeira derivada para
. Aqui
, então
Portanto escolhemos
Passo 3
Calculemos as derivadas de
em função de
:
Substituindo em
:
Simplificando termos:
Os
se cancelam, restando
Dividindo por
:
Passo 4
Vamos interpretar a equação obtida:
É uma equação do tipo
que aparece nas equações radiais (spherical Bessel) se identificarmos
(logo
) e
. A equação
tem solução
. Então essa equação tem soluções expressáveis em termos de funções trigonométricas racionais (soluções esféricas) ou em termos de funções de Bessel de ordem
. Vou seguir um caminho didático que leva a soluções em funções elementares (seno e cosseno) multiplicadas por polinômios/racionais em
.
Passo 5
Proponho um ansatz (palpite bem guiado) para
da forma
com
. Explico por que: para equações com termo
e coeficiente constante
, as soluções costumam misturar senos/cossenos com termos em
. Esse ansatz contém os dois comportamentos e é suficientemente geral para capturar as duas soluções independentes.
Definindo
temos
Calculemos derivadas necessárias de forma organizada. Primeiro:
Usando a regra do produto para
(mais direto do que derivar termo a termo):
Substituindo na equação
e coletando termos em
e
, obtemos duas equações (cada coeficiente deve ser zero):
coeficiente de :
coeficiente de
coeficiente de
:
Passo 6
Agora substituímos
nas expressões:
para :
para
Simplificando:
Os termos com
se cancelam, sobrando
Logo
Para
:
Simplificando:
Os
desaparecem, sobrando
Portanto as constantes devem satisfazer
Passo 7
Dessas relações vemos que há duas constantes livres (por exemplo
e
), o que corresponde a duas soluções independentes. Escolhemos convenientemente duas escolhas de base para obter soluções independentes simples.
Escolha 1: tome
e
. Então
e
. Assim
portanto
Escolha 2: tome
e
. Então
e
. Assim
portanto
Essas duas são linearmente independentes (podemos ver pela forma diferente das combinações em
e em funções puras seno/cosseno).
Passo 8
Voltamos à variável original
usando
. Multiplicando as soluções
por
obtemos soluções para
:
Para
:
Para
:
Onde lembramos
.