Resolva as equações diferenciais separáveis:
(b)
(b)
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial
O que o problema pede: encontrar a família de funções
que satisfazem essa igualdade para todo
do domínio considerado.
Informações dadas: a derivada de em relação a
está expressa por
e aparece o fator
multiplicado por
. Não há condições iniciais adicionais fornecidas.
Informações dadas: a derivada de
Passo 2
Interpretação da notação e objetivo imediato. Aqui
significa
. A equação é uma relação entre
,
e
. Nosso objetivo imediato é reescrever a equação de forma que possamos integrar e obter
em função de
.
Passo 3
Passo algébrico inicial: escrever explicitamente como derivada de
:
A ideia natural é isolar os termos com
de um lado e os com
do outro, para então integrar. Atenção importante: ao dividir por
precisamos considerar a possibilidade de
(caso que deve ser tratado separadamente).
Passo 4
Assumindo primeiro que
, vamos separar as variáveis colocando os termos em
multiplicando
e os termos em
multiplicando
:
Essa manipulação é válida porque estamos apenas reescrevendo
como uma igualdade entre formas diferenciais. Relembre: dividir por
significa que estamos desconsiderando soluções em que
é identicamente
; trataremos esse caso depois.
Passo 5
Agora integramos ambos os lados. Vamos explicar passo a passo a integral do lado esquerdo:
Para integrar
usamos uma substituição simples: defina
. Então
, ou seja
. Substituindo:
Nota sobre o valor absoluto: usamos
porque a primitiva de
é
, válida tanto para
quanto para
.
Do lado direito:
Passo 6
Igualando as primitivas (saindo a constante comum em um lado só), obtemos
onde
é uma constante arbitrária de integração (aqui já absorvemos constantes de ambos os lados em uma única
).
Passo 7
Multiplicamos por
para simplificar:
onde
é outra constante arbitrária. Agora exponenciamos ambos os lados. Lembre que
, então
Definindo uma nova constante
obtemos
Para eliminar o módulo, podemos permitir um fator constante que seja real (positivo ou negativo). Portanto escrevemos a solução geral (para o caso
) como
onde agora
é uma constante arbitrária real (pode ser positiva, negativa ou zero). Observe que permitir
nos dará
, que é a solução constante que deixamos de fora ao dividir antes — então ela será incluída naturalmente aqui, mas precisamos explicar sua origem.
Passo 8
Resolver para
:
Convenientemente podemos reescrever com outra constante
, obtendo a forma alternativa
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 9
Tratamento do caso
separado: se
então
. Verificamos que essa função constante também satisfaz a equação original:
logo é solução. Essa solução corresponde à escolha
na fórmula
. Assim a família com
já inclui o caso constante.
Passo 10
Pequena verificação por derivação (sanidade): calcule
de
.
Por outro lado,
que coincide com
. Portanto a solução está correta.