Resolva as equações diferenciais separáveis:
(b) y^{\prime}=e^{x}(2 y+1)

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial
y' = e^{x}(2y+1).
O que o problema pede: encontrar a família de funções y(x) que satisfazem essa igualdade para todo x do domínio considerado.
Informações dadas: a derivada de y em relação a x está expressa por y' e aparece o fator (2y+1) multiplicado por e^{x}. Não há condições iniciais adicionais fornecidas.

Passo 2

Interpretação da notação e objetivo imediato. Aqui y' significa \dfrac{dy}{dx}. A equação é uma relação entre \dfrac{dy}{dx}, x e y. Nosso objetivo imediato é reescrever a equação de forma que possamos integrar e obter y em função de x.

Passo 3

Passo algébrico inicial: escrever explicitamente como derivada de y:
\frac{dy}{dx} = e^{x}(2y+1).
A ideia natural é isolar os termos com y de um lado e os com x do outro, para então integrar. Atenção importante: ao dividir por 2y+1 precisamos considerar a possibilidade de 2y+1=0 (caso que deve ser tratado separadamente).

Passo 4

Assumindo primeiro que 2y+1 \neq 0, vamos separar as variáveis colocando os termos em y multiplicando dy e os termos em x multiplicando dx:
\frac{1}{2y+1}\,dy = e^{x}\,dx.
Essa manipulação é válida porque estamos apenas reescrevendo \dfrac{dy}{dx}= \cdots como uma igualdade entre formas diferenciais. Relembre: dividir por 2y+1 significa que estamos desconsiderando soluções em que 2y+1 é identicamente 0; trataremos esse caso depois.

Passo 5

Agora integramos ambos os lados. Vamos explicar passo a passo a integral do lado esquerdo:
\int \frac{1}{2y+1}\,dy.
Para integrar \dfrac{1}{2y+1} usamos uma substituição simples: defina u = 2y+1. Então du = 2\,dy, ou seja dy = \dfrac{du}{2}. Substituindo:
\int \frac{1}{2y+1}\,dy = \int \frac{1}{u}\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int \frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\ln|u| + C = \frac{1}{2}\ln|2y+1| + C.
Nota sobre o valor absoluto: usamos \ln|u| porque a primitiva de 1/u é \ln|u|, válida tanto para u>0 quanto para u<0.
Do lado direito:
\int e^{x}\,dx = e^{x} + C.

Passo 6

Igualando as primitivas (saindo a constante comum em um lado só), obtemos
\frac{1}{2}\ln|2y+1| = e^{x} + C,
onde C é uma constante arbitrária de integração (aqui já absorvemos constantes de ambos os lados em uma única C).

Passo 7

Multiplicamos por 2 para simplificar:
\ln|2y+1| = 2e^{x} + C_1,
onde C_1 = 2C é outra constante arbitrária. Agora exponenciamos ambos os lados. Lembre que e^{\ln|A|}=|A|, então
|2y+1| = e^{2e^{x} + C_1} = e^{C_1}\,e^{2e^{x}}.
Definindo uma nova constante K = e^{C_1}>0 obtemos
|2y+1| = K e^{2e^{x}}.
Para eliminar o módulo, podemos permitir um fator constante que seja real (positivo ou negativo). Portanto escrevemos a solução geral (para o caso 2y+1\neq0) como
2y+1 = C\,e^{2e^{x}},
onde agora C é uma constante arbitrária real (pode ser positiva, negativa ou zero). Observe que permitir C=0 nos dará 2y+1=0, que é a solução constante que deixamos de fora ao dividir antes — então ela será incluída naturalmente aqui, mas precisamos explicar sua origem.

Passo 8

Resolver para y:
y(x) = \frac{C\,e^{2e^{x}} - 1}{2}.
Convenientemente podemos reescrever com outra constante A = \dfrac{C}{2}, obtendo a forma alternativa
y(x) = A\,e^{2e^{x}} - \frac{1}{2},
onde A é uma constante real arbitrária.

Passo 9

Tratamento do caso 2y+1=0 separado: se 2y+1\equiv 0 então y\equiv -\dfrac{1}{2}. Verificamos que essa função constante também satisfaz a equação original:
y' = 0 \quad\text{e}\quad e^{x}(2y+1)=e^{x}(2(-\tfrac{1}{2})+1)=e^{x}( -1 +1)=0,
logo é solução. Essa solução corresponde à escolha A=0 na fórmula y(x)=A e^{2e^{x}}-\tfrac{1}{2}. Assim a família com A\in\mathbb{R} já inclui o caso constante.

Passo 10

Pequena verificação por derivação (sanidade): calcule y' de y(x)=A e^{2e^{x}} - \tfrac{1}{2}.
y'(x)=A\cdot e^{2e^{x}}\cdot \frac{d}{dx}(2e^{x}) = A e^{2e^{x}}\cdot 2e^{x}.
Por outro lado,
e^{x}(2y+1)=e^{x}\big(2(A e^{2e^{x}}-\tfrac{1}{2})+1\big)=e^{x}\big(2A e^{2e^{x}}-1+1\big)=2A e^{2e^{x}} e^{x},
que coincide com y'. Portanto a solução está correta.

Resposta

y(x)=A\,e^{2e^{x}}-\dfrac{1}{2}, com A\in\mathbb{R}.

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