Resolva as equações diferenciais separáveis:
(a) y^{\prime}=y^{2} \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y' = y^{2}\cos(x).
Informações dadas:
y'(x)=\frac{dy}{dx}\quad\text{é a derivada de }y\text{ em relação a }x,éçã
a função desconhecida é y(x), não há condição inicial fornecida, e a equação relaciona y, sua derivada e x. O objetivo é encontrar a família de soluções y(x) (a solução geral) e identificar eventuais soluções especiais.

Passo 2

Vamos escolher um método para resolver. A equação tem os termos envolvendo y multiplicando uma função de x. Isso permite separar as variáveis (colocar tudo que envolve y num lado e tudo que envolve x no outro). Separar é apropriado porque facilita integrar cada lado em sua variável. Não foi pedido outro método, então usamos separação de variáveis.

Passo 3

Primeiro, tratamos a possibilidade de soluções que a separação poderia excluir: se y(x)\equiv 0, então y'=0 e a equação fica 0 = 0\cdot\cos(x), que é verdadeira. Logo
y(x)\equiv 0
é uma solução (solução singular constante). Agora, para obter a solução geral não identicamente zero, podemos dividir por y^{2} (assumindo y\neq 0 localmente) e separar as variáveis:
\frac{dy}{dx}=y^{2}\cos(x)\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{y^{2}}\,dy=\cos(x)\,dx.

Passo 4

Agora integramos os dois lados. Vou explicar as integrais usadas:
  • Para a integral em y: usamos a fórmula \displaystyle \int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C válida para n\neq -1. Aqui n=-2, então
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy=\int y^{-2}\,dy=\frac{y^{-1}}{-1}=-\frac{1}{y}.
  • Para a integral em x: sabemos que \displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+\text{constante}.
Aplicando as integrais:
\int \frac{1}{y^{2}}\,dy=\int \cos(x)\,dx
leva a
-\frac{1}{y}=\sin(x)+C,
onde C\in\mathbb{R} é a constante de integração (podemos agregar constantes de ambos os lados em uma única constante).

Passo 5

Isolamos y. A equação obtida é
-\frac{1}{y}=\sin(x)+C.
Invertendo e resolvendo para y temos
y=-\frac{1}{\sin(x)+C}.
Podemos também reescrever a constante trocando C por -C se preferirmos a forma
y=\frac{1}{C-\sin(x)},
mas ambas são a mesma família de soluções (apenas renomeação da constante).

Passo 6

Verificamos rapidamente que a expressão encontrada satisfaz a equação original. Tomando
y(x)=-\bigl(\sin(x)+C\bigr)^{-1},
a derivada é, por regra da cadeia,
y'(x)=-(-1)\bigl(\sin(x)+C\bigr)^{-2}\cos(x)=\cos(x)\bigl(\sin(x)+C\bigr)^{-2}.
Como y^{2}=\bigl(\sin(x)+C\bigr)^{-2}, segue que
y'=\cos(x)\,y^{2},
o que confirma que nossa solução está correta (onde definida, ou seja, onde \sin(x)+C\neq 0).

Passo 7

Conclusão e observações práticas:
  • A solução geral não constante é y(x)=-1/(\sin(x)+C) com C\in\mathbb{R}.
  • A solução constante y(x)\equiv 0 também existe (e foi obtida separadamente porque dividir por y^{2} a exclui).
  • Pontos onde \sin(x)+C=0 são singularidades (a solução explode: há assíntotas verticais), então cada solução contínua está definida em intervalos onde \sin(x)+C\neq 0.

Resposta

y(x)\equiv 0\n y(x)=-\frac{1}{\sin(x)+C},\quad C\in\mathbb{R}.

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