Resolva as equações diferenciais separáveis:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
a função desconhecida é
, não há condição inicial fornecida, e a equação relaciona
, sua derivada e
. O objetivo é encontrar a família de soluções
(a solução geral) e identificar eventuais soluções especiais.
Passo 2
Vamos escolher um método para resolver. A equação tem os termos envolvendo
multiplicando uma função de
. Isso permite separar as variáveis (colocar tudo que envolve
num lado e tudo que envolve
no outro). Separar é apropriado porque facilita integrar cada lado em sua variável. Não foi pedido outro método, então usamos separação de variáveis.
Passo 3
Primeiro, tratamos a possibilidade de soluções que a separação poderia excluir: se
, então
e a equação fica
, que é verdadeira. Logo
é uma solução (solução singular constante). Agora, para obter a solução geral não identicamente zero, podemos dividir por
(assumindo
localmente) e separar as variáveis:
Passo 4
Agora integramos os dois lados. Vou explicar as integrais usadas:
- Para a integral em
: usamos a fórmula válida para . Aqui , então
- Para a integral em
: sabemos que
Aplicando as integrais:
leva a
onde
é a constante de integração (podemos agregar constantes de ambos os lados em uma única constante).
Passo 5
Isolamos
. A equação obtida é
Invertendo e resolvendo para
temos
Podemos também reescrever a constante trocando
por
se preferirmos a forma
mas ambas são a mesma família de soluções (apenas renomeação da constante).
Passo 6
Verificamos rapidamente que a expressão encontrada satisfaz a equação original. Tomando
a derivada é, por regra da cadeia,
Como
, segue que
o que confirma que nossa solução está correta (onde definida, ou seja, onde
).
Passo 7
Conclusão e observações práticas:
- A solução geral não constante é
com . - A solução constante
também existe (e foi obtida separadamente porque dividir por a exclui). - Pontos onde
são singularidades (a solução explode: há assíntotas verticais), então cada solução contínua está definida em intervalos onde .