Resolva as equações diferenciais por separação de variáveis:
(Yunus e William, 2014)
y \dot{y}=t^{3}+1;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y\,\dot{y} = t^{3} + 1
onde \dot{y}=\frac{dy}{dt}. O método a aplicar é separação de variáveis, pois podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em t do outro.

Passo 2

Reescrevendo \dot{y} e separando as variáveis, temos
y\,\frac{dy}{dt} = t^{3}+1 \quad\Longrightarrow\quad y\,dy = (t^{3}+1)\,dt.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int (t^{3}+1)\,dt.
No lado esquerdo,
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
No lado direito,
\int (t^{3}+1)\,dt = \frac{t^{4}}{4} + t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Igualando e multiplicando por 2 para simplificar, obtemos
y^{2} = \frac{t^{4}}{2} + 2t + C_{1},
onde C_{1}=2C é uma constante arbitrária real. Finalmente, isolamos y:
y(t) = \pm\sqrt{\frac{t^{4}}{2} + 2\,t + C_{1}}.

Resposta

y(t) = \pm\sqrt{\frac{t^{4}}{2} + 2\,t + C_{1}},
onde C_{1} é constante de integração.

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