(Yunus e William, 2014) Resolva os problemas de valor inicial:
\dot{y}-3 y=-9 t, \quad y(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial linear de primeira ordem
\dot{y}-3y=-9t
com condição y(0)=2. Vamos usar o método do fator integrante: identificamos p(t)=-3 e q(t)=-9t.

Passo 2

O fator integrante \mu(t) é
\mu(t)=e^{\int p(t)\,dt}=e^{\int -3\,dt}=e^{-3t}.
Multiplicando a equação original por \mu(t), obtemos
e^{-3t}\dot y-3e^{-3t}y=\frac{d}{dt}\bigl(e^{-3t}y\bigr)=-9t\,e^{-3t}.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(e^{-3t}y\bigr)\,dt =\int -9t\,e^{-3t}\,dt.
Para a integral à direita, use integração por partes com u=-9t e dv=e^{-3t}dt. O resultado é
\int -9t\,e^{-3t}\,dt =e^{-3t}(3t+1)+C.

Passo 4

Logo
e^{-3t}y=e^{-3t}(3t+1)+C \quad\Longrightarrow\quad y=3t+1+Ce^{3t}.

Passo 5

Aplicando a condição inicial y(0)=2 temos
2=y(0)=3\cdot0+1+C\cdot e^{0} \;\Longrightarrow\;C=1.

Resposta

y(t)=3t+1+e^{3t}.

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